Question

10．2011年8月25日23時27分，經過77天的飛行，“嫦娥二號”在世界上首次實現從月球軌道出發(fā)，受控準確進入日地系統(tǒng)--拉格朗日L₂點的環(huán)繞軌道，如圖所示．已知地球半徑為R₀，地球表面重力加速度為g．
（1）若月球繞地球運動的周期為T，月球繞地球的運動近似看作勻速圓周運動，試求出月球繞地球運動的軌道半徑r；
（2）日地系統(tǒng)--拉格朗日L₂點在太陽與地球連線上的地球外側，由于同時受到太陽和地球的引力，飛船繞太陽運動的周期與地球的公轉周期相等（不考慮月球及其他因素影響）．若地球軌道半徑為R，公轉周期為T₀，試寫出計算日地系統(tǒng)--拉格朗日L₂點到地球的距離L的表達式（只要求寫出用已知量表示的關系式）．

Answer 1

分析 （1）根據月球受到的引力等于向心力，在地球表面重力等于萬有引力列式求解；
（2）設太陽質量為M，地球質量為M₀，嫦娥二號的質量為m₀，根據萬有引力定律和牛頓第二定律列式，地球繞太陽公轉，根據萬有引力提供向心力列式，聯(lián)立方程即可求解．

解答 解：（1）設地球質量為M₀，月球質量為M_月，根據萬有引力定律和牛頓第二定律：
月球環(huán)繞運動：$G\frac{{M}_{月}{M}_{0}}{{r}^{2}}={M}_{月}（\frac{2π}{T}）^{2}r$
地球表面近似：$mg=G\frac{{M}_{0}m}{{{R}_{0}}^{2}}$
解得$r=\root{3}{\frac{g{{R}_{0}}^{2}{T}^{2}}{4{π}^{2}}}$
（2）設太陽質量為M，地球質量為M₀，嫦娥二號的質量為m₀，根據萬有引力定律和牛頓第二定律：
嫦娥二號在L₂點：$G\frac{M{m}_{0}}{（R+L）^{2}}+G\frac{{M}_{0}{m}_{0}}{{L}^{2}}={m}_{0}（\frac{2π}{{T}_{0}}）^{2}（R+L）$
地球繞太陽公轉：$G\frac{M{M}_{0}}{{R}^{2}}={M}_{0}{（\frac{2π}{{T}_{0}}）}^{2}R$
化簡得：$\frac{4{π}^{2}{R}^{3}}{{{T}_{0}}^{2}（R+L）^{2}}+\frac{g{{R}_{0}}^{2}}{{L}^{2}}=（\frac{2π}{{T}_{0}}）^{2}（R+L）$
答：（1）月球繞地球運動的軌道半徑r為$\root{3}{\frac{g{{R}_{0}}^{2}{T}^{2}}{4{π}^{2}}}$；
（2）計算日地系統(tǒng)--拉格朗日L₂點到地球的距離L的表達式為$\frac{4{π}^{2}{R}^{3}}{{{T}_{0}}^{2}{（R+L）}^{2}}+\frac{g{{R}_{0}}^{2}}{{L}^{2}}={（\frac{2π}{{T}_{0}}）}^{2}（R+L）$．

點評 本題關鍵是要抓住星球表面處物體的重力等于萬有引力，由萬有引力提供星球做勻速圓周運動的向心力，難度適中．