Question

4．如圖，兩根長(zhǎng)均為2L的圓柱形絕緣細(xì)管，用很短的一段內(nèi)壁光滑的彎道平滑連接成管道ABC．管道固定于豎直平面內(nèi)，其中AC沿水平方向．∠BAC=∠BCA=θ．一柔軟均質(zhì)絕緣細(xì)繩置于管道AB內(nèi)，細(xì)繩的右端剛好繞過(guò)細(xì)管B處連接一小球（直徑略小于管道內(nèi)徑），系統(tǒng)處于靜止?fàn)顟B(tài)．已知繩和小球的質(zhì)量均為m、與細(xì)管的動(dòng)摩擦因數(shù)均為μ=$\frac{1}{2}$tanθ；細(xì)繩長(zhǎng)L，小球帶電量為+q，整個(gè)系統(tǒng)置于豎直向下、場(chǎng)強(qiáng)E=$\frac{mg}{q}$的勻強(qiáng)電場(chǎng)中，重力加速度為g．現(xiàn)對(duì)小球施加一沿BC管道向下的拉力．
（1）當(dāng)小球滑動(dòng)$\frac{L}{4}$時(shí)，拉力大小為F．此時(shí)小球的加速度大小a；
（2）求小球從開(kāi)始運(yùn)動(dòng)到下滑$\frac{L}{4}$過(guò)程，系統(tǒng)改變的勢(shì)能△E；
（3）拉力至少需對(duì)小球做多少功，才能使整條細(xì)繩離開(kāi)管口C？

Answer 1

分析 （1）以BC管道上的細(xì)繩與小球?yàn)檎�體，分析其受力：重力、電場(chǎng)力、拉力和滑動(dòng)摩擦力，根據(jù)牛頓第二定律列式．再對(duì)AB管道上的細(xì)繩，由牛頓第二定律列式，即可求加速度．
（2）系統(tǒng)的勢(shì)能包括重力勢(shì)能和彈性勢(shì)能．根據(jù)重力做功和電場(chǎng)力做功求解．
（3）當(dāng)小球沿BC管道運(yùn)動(dòng)到離B點(diǎn)x=$\frac{L}{4}$時(shí)，若撤去拉力，此時(shí)a=0，此后小球與細(xì)繩將沿BC管道加速下滑，最終離開(kāi)管道．對(duì)細(xì)繩和球系統(tǒng)運(yùn)用功能關(guān)系求解．

解答 解：（1）以BC管道上的細(xì)繩與小球?yàn)檎�體，設(shè)B處細(xì)繩間的相互作用力大小為T，由牛頓第二定律得：
  F+（$\frac{5}{4}$mg+qE）sinθ-μN(yùn)-T=$\frac{5}{4}$ma   ①
  N=（qE+$\frac{5}{4}$mg）cosθ    ②
對(duì)AB管道上的細(xì)繩，由牛頓第二定律得：
  T-$\frac{3}{4}$mgsinθ-μ$\frac{3}{4}$mgcosθ=$\frac{3}{4}$ma   ③
由①②③式得：a=$\frac{F}{2m}$   ④
（2）系統(tǒng)改變的勢(shì)能
△E=△E_重+△E_電   ⑤
系統(tǒng)改變的重力勢(shì)能
△E_重=-mg$\frac{L}{4}$sinθ+$\frac{1}{4}$mg$\frac{3L}{4}$sinθ   ⑥
系統(tǒng)改變的電勢(shì)能
△E_電=-qE$\frac{L}{4}$sinθ   ⑦
由⑤⑥⑦式得：△E=-$\frac{5}{16}mgLsinθ$  ⑧
（3）由（1）問(wèn)可知，當(dāng)小球沿BC管道運(yùn)動(dòng)到離B點(diǎn)x=$\frac{L}{4}$時(shí)，若撤去拉力，此時(shí)a=0，此后小球與細(xì)繩將沿BC管道加速下滑，最終離開(kāi)管道．
因此，要使拉力做功最小，小球至少要到達(dá)x=$\frac{L}{4}$位置，且v=0 ⑨
從開(kāi)始到x=$\frac{L}{4}$過(guò)程中，由功能關(guān)系得：W_F=△E_K+Q+△E′（10）
其中△E_K=0 （11）
則得Q=μ（qE+mg）cosθ•x+μmgcosθ•x  （12）
由（2）問(wèn)可知，x=$\frac{L}{4}$時(shí)，△E′=△E （13）
由⑨（10）（11）（12）（13）式得 W_F=$\frac{1}{16}$mgLsinθ  （14）
答：
（1）當(dāng)小球滑動(dòng)$\frac{L}{4}$時(shí)，拉力大小為F，此時(shí)小球的加速度大小a為$\frac{F}{2m}$；
（2）小球從開(kāi)始運(yùn)動(dòng)到下滑$\frac{L}{4}$過(guò)程，系統(tǒng)改變的勢(shì)能△E為-$\frac{5}{16}mgLsinθ$；
（3）拉力至少需對(duì)小球做$\frac{1}{16}$mgLsinθ的功，才能使整條細(xì)繩離開(kāi)管口C．

點(diǎn)評(píng) 對(duì)于連接體，求加速度常用有兩種方法：整體法和隔離法，要抓住加速度大小相等的特點(diǎn)靈活選擇解法．本題還要正確分析功與能的關(guān)系，知道重力做功多少，重力勢(shì)能減少多少，電場(chǎng)力做功與電勢(shì)能變化的關(guān)系與此相似．