Question

13．如圖所示，區(qū)域Ⅰ、Ⅲ內(nèi)有垂直紙面向外的勻強(qiáng)磁場，左邊區(qū)域足夠大，右邊區(qū)域?qū)挾葹?.2d，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小均為B，區(qū)域Ⅱ是兩磁場間的無場區(qū)，兩條豎直虛線是其邊界線，寬度為d．一個(gè)質(zhì)量為m、電荷量為q的帶正電粒子從磁場邊界A點(diǎn)垂直邊界射入左側(cè)磁場，經(jīng)過Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ區(qū)域后能回到A點(diǎn)，若粒子在左側(cè)磁場中的軌道半徑也為d，整個(gè)裝置在真空中，不計(jì)粒子的重力．求：
（1）粒子從A點(diǎn)射出到第一次回到A點(diǎn)經(jīng)歷的時(shí)間t；
（2）若在區(qū)域Ⅱ內(nèi)加一水平向右的勻強(qiáng)電場，粒子仍能回到A點(diǎn)，電場強(qiáng)度E為多大．

Answer 1

分析 （1）畫出粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡，根據(jù)圓的對稱性求出其運(yùn)動(dòng)軌跡的半徑，由牛頓第二定律和向心力公式求出其速率，由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求解時(shí)間t．
（2）在區(qū)域Ⅱ內(nèi)加一水平向右的勻強(qiáng)電場，當(dāng)粒子向右通過電場時(shí)將要被加速，向左通過電場時(shí)將要被減速．畫出軌跡示意圖，根據(jù)動(dòng)能定理和幾何知識進(jìn)行求解．

解答 解：（1）根據(jù)洛倫茲力充當(dāng)向心力知在區(qū)域Ⅰ有：
qv₁B=m$\frac{v_1^2}ymooqoe$①
粒子從A點(diǎn)射出到第一次回到A點(diǎn)經(jīng)歷的時(shí)間t：
t=$\frac{2πd+2d}{v_1}$②
由①②式解得t=$\frac{2πm+2m}{Bq}$                                
（2）設(shè)在區(qū)域Ⅱ內(nèi)加速的粒子到Ⅲ區(qū)的速度為v₂，有
qEd=$\frac{1}{2}$m$v_2^2$-$\frac{1}{2}$m$v_1^2$③
又    qv₂B=m$\frac{v_2^2}{r}$④
粒子運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示，設(shè)AN=x
則 x=2（r-d）  ⑤
此后，粒子每經(jīng)歷一次“回旋”離A點(diǎn)的距離就減小x．設(shè)經(jīng)過n次回旋后能返回A點(diǎn)，有
nx=2d               （n=1、2、3、…）      ⑥
又              r≤1.2d                   ⑦
由⑤⑥⑦式解得  $r=\frac{n+1}{n}d$ ⑧
n≥5（n=5、6、7、…）    ⑨
由①③④⑧⑨式解得 $E=\frac{{（{2n+1}）{B^2}qd}}{{2{n^2}m}}$（n=5、6、7、…）      
答：（1）粒子從A點(diǎn)射出到第一次回到A點(diǎn)經(jīng)歷的時(shí)間t=$\frac{2πm+2m}{Bq}$；
（2）若在區(qū)域Ⅱ內(nèi)加一水平向右的勻強(qiáng)電場，粒子仍能回到A點(diǎn)，電場強(qiáng)度 $E=\frac{{（{2n+1}）{B^2}qd}}{{2{n^2}m}}$（n=5、6、7、…）

點(diǎn)評 本題是帶電粒子在組合場中運(yùn)動(dòng)的問題，解題關(guān)鍵是畫出粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡，運(yùn)用幾何知識求解軌跡半徑滿足的條件．