Question

13．如圖所示，區(qū)域Ⅰ、Ⅲ內(nèi)有垂直紙面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，左邊區(qū)域足夠大，右邊區(qū)域?qū)挾葹?.2d，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小均為B，區(qū)域Ⅱ是兩磁場(chǎng)間的無(wú)場(chǎng)區(qū)，兩條豎直虛線是其邊界線，寬度為d．一個(gè)質(zhì)量為m、電荷量為q的帶正電粒子從磁場(chǎng)邊界A點(diǎn)垂直邊界射入左側(cè)磁場(chǎng)，經(jīng)過(guò)Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ區(qū)域后能回到A點(diǎn)，若粒子在左側(cè)磁場(chǎng)中的軌道半徑也為d，整個(gè)裝置在真空中，不計(jì)粒子的重力．求：
（1）粒子從A點(diǎn)射出到第一次回到A點(diǎn)經(jīng)歷的時(shí)間t；
（2）若在區(qū)域Ⅱ內(nèi)加一水平向右的勻強(qiáng)電場(chǎng)，粒子仍能回到A點(diǎn)，電場(chǎng)強(qiáng)度E為多大．

Answer 1

分析 （1）畫(huà)出粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡，根據(jù)圓的對(duì)稱性求出其運(yùn)動(dòng)軌跡的半徑，由牛頓第二定律和向心力公式求出其速率，由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求解時(shí)間t．
（2）在區(qū)域Ⅱ內(nèi)加一水平向右的勻強(qiáng)電場(chǎng)，當(dāng)粒子向右通過(guò)電場(chǎng)時(shí)將要被加速，向左通過(guò)電場(chǎng)時(shí)將要被減速．畫(huà)出軌跡示意圖，根據(jù)動(dòng)能定理和幾何知識(shí)進(jìn)行求解．

解答 解：（1）根據(jù)洛倫茲力充當(dāng)向心力知在區(qū)域Ⅰ有：
qv₁B=m$\frac{v_1^2}y2j76jv$①
粒子從A點(diǎn)射出到第一次回到A點(diǎn)經(jīng)歷的時(shí)間t：
t=$\frac{2πd+2d}{v_1}$②
由①②式解得t=$\frac{2πm+2m}{Bq}$                                
（2）設(shè)在區(qū)域Ⅱ內(nèi)加速的粒子到Ⅲ區(qū)的速度為v₂，有
qEd=$\frac{1}{2}$m$v_2^2$-$\frac{1}{2}$m$v_1^2$③
又    qv₂B=m$\frac{v_2^2}{r}$④
粒子運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示，設(shè)AN=x
則 x=2（r-d）  ⑤
此后，粒子每經(jīng)歷一次“回旋”離A點(diǎn)的距離就減小x．設(shè)經(jīng)過(guò)n次回旋后能返回A點(diǎn)，有
nx=2d               （n=1、2、3、…）      ⑥
又              r≤1.2d                   ⑦
由⑤⑥⑦式解得  $r=\frac{n+1}{n}d$ ⑧
n≥5（n=5、6、7、…）    ⑨
由①③④⑧⑨式解得 $E=\frac{{（{2n+1}）{B^2}qd}}{{2{n^2}m}}$（n=5、6、7、…）      
答：（1）粒子從A點(diǎn)射出到第一次回到A點(diǎn)經(jīng)歷的時(shí)間t=$\frac{2πm+2m}{Bq}$；
（2）若在區(qū)域Ⅱ內(nèi)加一水平向右的勻強(qiáng)電場(chǎng)，粒子仍能回到A點(diǎn)，電場(chǎng)強(qiáng)度 $E=\frac{{（{2n+1}）{B^2}qd}}{{2{n^2}m}}$（n=5、6、7、…）

點(diǎn)評(píng) 本題是帶電粒子在組合場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的問(wèn)題，解題關(guān)鍵是畫(huà)出粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡，運(yùn)用幾何知識(shí)求解軌跡半徑滿足的條件．