Question

15．如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系xOy的第二、第三象限內(nèi)有一垂直紙面向里、磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場區(qū)域△ABC，A點坐標(biāo)為（0，3a），C點坐標(biāo)為（0，-3a），B點坐標(biāo)為（-2$\sqrt{3}$a，-3a）．在直角坐標(biāo)系xOy的第一象限內(nèi)，加上方向沿y軸正方向、場強(qiáng)大小為E=Bv₀的勻強(qiáng)電場，在x=3a處垂直于x軸放置一平面熒光屏，其與x軸的交點為Q．粒子束以相同的速度v₀由O、C間的各位置垂直y軸射入，已知從y軸上y=-2a的點射入磁場的粒子在磁場中的軌跡恰好經(jīng)過O點．忽略粒子間的相互作用，不計粒子的重力．
（1）求粒子的比荷；
（2）求粒子束射入電場的縱坐標(biāo)范圍；
（3）從什么位置射入磁場的粒子打到熒光屏上距Q點最遠(yuǎn)？求出最遠(yuǎn)距離．

Answer 1

分析 （1）由題意求解粒子在磁場中的軌跡半徑，根據(jù)洛倫茲力提供向心力求解比荷；
（2）畫出粒子運動軌跡，求解粒子離開磁場進(jìn)入電場時離O點上方最遠(yuǎn)距離，由此得到粒子束射入電場的縱坐標(biāo)范圍；
（3）首先判斷粒子應(yīng)射出電場后打到熒光屏上，根據(jù)粒子在電場中做類平拋運動的規(guī)律列方程得到最遠(yuǎn)距離H與入射點位置y的關(guān)系，根據(jù)數(shù)學(xué)知識求解即可．

解答 解：（1）由題意可知，粒子在磁場中的軌跡半徑為r=a
由牛頓第二定律得Bqv₀=m$\frac{{{v}_{0}}^{2}}{r}$　
故粒子的比荷$\frac{q}{m}$=$\frac{{v}_{0}}{Ba}$；
（2）能進(jìn)入電場中且離O點上方最遠(yuǎn)的粒子在磁場中的運動軌跡恰好與AB邊相切，設(shè)粒子運動軌跡的圓心為O′點，如圖所示．

由幾何關(guān)系知O′A=r•$\frac{AB}{BC}$=2a　
則OO′=OA-O′A=a　
即粒子離開磁場進(jìn)入電場時，離O點上方最遠(yuǎn)距離為OD=y_m=2a　
所以粒子束從y軸射入電場的范圍為0≤y≤2a；
（3）假設(shè)粒子沒有射出電場就打到熒光屏上，有3a=v₀•t₀　
y=$\frac{1}{2}$•$\overline{a}$t₀²=$\frac{9}{2}$a＞2a，所以，粒子應(yīng)射出電場后打到熒光屏上　
粒子在電場中做類平拋運動，設(shè)粒子在電場中的運動時間為t，豎直方向位移為y，水平方向位移為x，則
水平方向有x=v₀•t　
豎直方向有y=$\frac{1}{2}$•$\overline{a}$t²　
代入數(shù)據(jù)得x=$\sqrt{2ay}$　
設(shè)粒子最終打在熒光屏上的點距Q點為H，粒子射出電場時與x軸的夾角為θ，則
tan θ=$\frac{{v}_{y}}{{v}_{x}}=\frac{\frac{Eq}{m}•\frac{x}{{v}_{0}}}{{v}_{0}}$=$\sqrt{\frac{2y}{a}}$
有H=（3a-x）•tan θ=（3$\sqrt{a}$-$\sqrt{2y}$）•$\sqrt{2y}$　
當(dāng)3$\sqrt{a}$-$\sqrt{2y}$=$\sqrt{2y}$時，即y=$\frac{9}{8}$a時，H有最大值 
由于$\frac{9}{8}$a＜2a，所以H的最大值H_max=$\frac{9}{4}$a，粒子射入磁場的位置為y=$\frac{9}{8}$a-2a=-$\frac{7}{8}$a．
答：（1）粒子的比荷為$\frac{{v}_{0}}{Ba}$；
（2）粒子束射入電場的縱坐標(biāo)范圍為0≤y≤2a；
（3）從y=-$\frac{7}{8}$a射入磁場的粒子打到熒光屏上距Q點最遠(yuǎn)，最遠(yuǎn)距離為$\frac{9}{4}$a．

點評 對于帶電粒子在磁場中的運動情況分析，一般是確定圓心位置，根據(jù)幾何關(guān)系求半徑，結(jié)合洛倫茲力提供向心力求解未知量；根據(jù)周期公式結(jié)合軌跡對應(yīng)的圓心角求時間；對于帶電粒子在電場中運動時，一般是按類平拋運動的知識進(jìn)行解答．