Question

10．如圖，在x軸下方的區(qū)域內(nèi)存在方向與y軸相同的勻強電場．在x軸上方以原點O為圓心、半徑為R的半圓形區(qū)域內(nèi)存在勻強磁場，磁場的方向垂直于xy平面并指向紙面外，磁感應(yīng)強度為B．y軸下方的A點與O點的距離為d，一質(zhì)量為m、電荷量為q的帶正電粒子從A點由靜止釋放，經(jīng)電場加速后從O點射入磁場．粒子重力不計，求：
（1）要使粒子離開磁場時的速度方向與x軸平行，電場強度E₀大��；
（2）若電場強度E=$\frac{2}{3}$E₀，粒子離開磁場后經(jīng)過x軸時的位置與原點的距離．

Answer 1

分析 （1）使粒子離開磁場時的速度方向與x軸平行，作出軌跡圖，結(jié)合幾何關(guān)系求出粒子在磁場中做勻速圓周運動的半徑，結(jié)合半徑公式和動能定理求出電場強度E₀大��；
（2）根據(jù)電場強度的大小，結(jié)合動能定理和半徑公式求出粒子在磁場中運動的軌道半徑，通過幾何關(guān)系求出粒子離開磁場后經(jīng)過x軸時的位置與原點的距離．

解答 解：（1）粒子在電場中加速，由動能定理得：
qEd=$\frac{1}{2}$mv²…①
粒子進入磁場后做圓周運動，有：
qvB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$…②
粒子之后恰好不再經(jīng)過x軸，則離開磁場時的速度方向與x軸平行，運動情況如圖①，可得
R=$\sqrt{2}$r…③
由以上各式解得
E₀=$\frac{q{B}^{2}{R}^{2}}{4md}$．
（2）將E=$\frac{2}{3}$E₀代入可得磁場中運動的軌道半徑
r=$\frac{R}{\sqrt{3}}$…④
粒子運動情況如圖②，圖中的角度α、β滿足
cosα=$\frac{\frac{R}{2}}{r}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$
即α=30°…⑤
β=2α=60°…⑥
粒子經(jīng)過x軸時的位置坐標為x=r+$\frac{r}{cosβ}$…⑦
解得x=$\sqrt{3}$R…⑧
答：（1）要使粒子離開磁場時的速度方向與x軸平行，電場強度E₀大小為$\frac{q{B}^{2}{R}^{2}}{4md}$．
（2）粒子離開磁場后經(jīng)過x軸時的位置與原點的距離為$\sqrt{3}$R．

點評 本題是帶電粒子在復合場中運動的類型，運用動能定理、牛頓第二定律和幾何知識結(jié)合進行解決，有一定的難度．