Question

10．已知一質點X方向做變加速直線運動，已知其初速度為v₀，加速度方向與初速度方向相同．
（1）若其加速度隨時間的變化關系為a=a₀-kt，式中a₀，k（k＞0）均為常量，求當t=t₀時（a≠0）質點的速率
（2）若其加速度隨位移的變化關系為a=a₀+kx，式中a₀，k（k＞0）均為常量，求當x=x₀時質點的速率．

Answer 1

分析 （1）將加速度用速度和時間的變化量來表示，然后化簡得到速度和時間的變化量關系式，再對其進行累加即可求解；
（2）將加速度用位移和時間的變化量來表示，然后化簡得到位移和時間的變化量關系式，再對其進行累加即可求解．

解答 解：（1）加速度$a=\frac{△v}{△t}={a}_{0}-kt$，那么，△v=a₀△t-kt△t=$a△t-\frac{1}{2}k△{t}^{2}$，所以，當t=t₀時質點的速率$v={v}_{0}+{a}_{0}{t}_{0}-\frac{1}{2}k{{t}_{0}}^{2}$；
（2）加速度$a=\frac{△v}{△t}=\frac{△x}{△t}•\frac{△v}{△x}=\frac{v△v}{△x}=\frac{\frac{1}{2}△{v}^{2}}{△x}={a}_{0}+kx$，那么，$△{v}^{2}=2{a}_{0}△x+2kx△x=2{a}_{0}△x+k△{x}^{2}$，所以，當x=x₀時質點的速率$v=\sqrt{{{v}_{0}}^{2}+2{a}_{0}{x}_{0}+k{{x}_{0}}^{2}}$；
答：（1）若其加速度隨時間的變化關系為a=a₀-kt，式中a₀，k（k＞0）均為常量，則當t=t₀時（a≠0）質點的速率為${v}_{0}+{a}_{0}{t}_{0}-\frac{1}{2}k{{t}_{0}}^{2}$；
（2）若其加速度隨位移的變化關系為a=a₀+kx，式中a₀，k（k＞0）均為常量，則當x=x₀時質點的速率為$\sqrt{{{v}_{0}}^{2}+2{a}_{0}{x}_{0}+k{{x}_{0}}^{2}}$．

點評 在變速運動的運動學問題上，我們要熟悉速度、加速度、位移互相之間的關系式，并能對其進行相互轉化．