Question

8．如圖所示，ABCDE為固定在豎直平面內的軌道，ABC為直軌道，AB光滑，BC粗糙，CDE為光滑圓弧軌道，軌道半徑為R，∠COD=θ（θ＜5°），直軌道與圓弧軌道相切于C點，其中圓心O與BE、C’與C均處于同一水平面上，OD豎直．現(xiàn)有一質量為m的小物體（可以看作質點）從斜面上的A點靜止滑下，小物體與BC間的動摩擦因數(shù)為μ，現(xiàn)要使小物體第一次滑入圓弧軌道后即恰好在C和C’間做簡諧運動（重力加速度為g）．求：
（1）小物體過D點時對軌道的壓力大�。�
（2）直軌道AB部分的長度S．

Answer 1

分析 先根據(jù)機械能守恒定律求出到達D點時的速度大小然后根據(jù)牛頓第二定律列方程求所受支持力的大�。�
對全過程應用動能定理列方程即可求解．

解答 解：（1）小物體下滑到C點速度為零才能第一次滑入圓弧軌道即恰好做簡諧運動．
從C到D由機械能守恒定律有：$mgR（1-cosθ）=\frac{1}{2}m{v_D}^2-0$
在D點根據(jù)牛頓第二定律得：$N'-mg=m\frac{{{v_D}^2}}{R}$
根據(jù)牛頓第三定律得：N=N'
解以上方程可得：N=3mg-2mgcosθ
（2）從A到C由動能定理有：mgsinθ（S+Rcotθ）-μmgcosθ•Rcotθ=0
解方程得：S=（μcot²θ-cotθ）R
答：（1）小物體過D點時對軌道的壓力大小為=3mg-2mgcosθ．
（2）直軌道AB部分的長度S為（μcot²θ-cotθ）R

點評 本題是動能定理、向心力公式知識的綜合，小物體下滑到C點速度為零，小物體才能第一次滑入圓弧軌道即剛好做簡諧運動．