Question

15．傾?為37° 的?夠長斜?上等間距的放著7個正?形?塊，從上到下依次編號1、2、3、…，上、下相鄰兩?塊質量之?均為2：1，即：$\frac{m_1}{m_2}$=$\frac{m_2}{m_3}$=…=$\frac{m_6}{m_7}$=2；若?塊7質量m₇=1kg，上端粘有橡?泥，各相鄰?塊之間距離均為L=7m，?塊與斜?間的動摩擦因數(shù)均為?=$\frac{7}{8}$，最初所有?塊均靜?在斜?上，現(xiàn)給?塊1初速度v₀=4$\sqrt{2}$m/s，運動過程中?塊6與?塊7的碰撞為完全?彈性碰撞（碰撞后粘在?起），其余?塊之間的碰撞均為彈性碰撞（碰撞中?機械能損失），重?加速度為g=10m/s²，求：
（1）?塊1與?塊2碰后?塊2的速度??；
（2）?塊1運動的最?位移；
（3）整個過程所有?塊組成的系統(tǒng)損失的機械能．

Answer 1

分析 （1）先根據(jù)動能定理求出?塊1與?塊2碰撞前瞬間木塊1的速度．再根據(jù)動量守恒定律和機械能守恒定律結合求解碰后?塊2的速度??；
（2）對于碰后?塊1的運動過程，由動能定理求其運動的最?位移；
（3）采用同樣的方法求解2與3、3與4…各個木塊碰后的速度，根據(jù)能量守恒求整個過程所有?塊組成的系統(tǒng)損失的機械能．

解答 解：（1）木塊1下滑的過程做勻減速運動，由動能定理得：
m₁gLsin37°-μm₁gLcos37°=$\frac{1}{2}{m}_{1}{v}_{1}^{2}$-$\frac{1}{2}{m}_{1}{v}_{0}^{2}$
解得木塊1與木塊2碰撞前的速度為：v₁=3$\sqrt{2}$m/s
對木塊1、2碰撞過程，取沿斜面向下為正方向，由動量守恒定律得：
m₁v₁=m₁v₁′+m₂v₂．
根據(jù)機械能守恒定律得：
$\frac{1}{2}$m₁v₁²=$\frac{1}{2}$m₁v₁′²+$\frac{1}{2}$m₂v₂²．
聯(lián)立解得：
v₁′=$\frac{{m}_{1}-{m}_{2}}{{m}_{1}+{m}_{2}}$v₁=$\frac{1}{3}$v₁=$\sqrt{2}$m/s
v₂=$\frac{2{m}_{1}}{{m}_{1}+{m}_{2}}$v₁=$\frac{4}{3}$v₁=4$\sqrt{2}$m/s．
（2）碰后木塊1繼續(xù)向下勻減速運動，由動能定理得：
0-$\frac{1}{2}$m₁v₁′²=-μm₁gx₁cos37°
木塊1運動的最?位移為：
x_m=L+x₁．
聯(lián)立解得：x_m=8m
（3）由于碰后木塊2獲得的速度和最初木塊1獲得的速度相同，可得所有木塊碰后獲得的速度均相同，木塊6碰木塊7前的速度仍為：
v₁=3$\sqrt{2}$m/s
木塊6與木塊7碰撞過程，取沿斜面向下為正方向，由動量守恒定律得：
m₆v₁=（m₆+m₇）v，
得：v=2$\sqrt{2}$m/s
木塊6與木塊7碰后一起向下減速，由動能定理得：
0-$\frac{1}{2}$（m₆+m₇）v²=-μ（m₆+m₇）gx₂cos37°，
得 x₂=4m
木塊1到5小木塊運動的最大位移均為：x_m=8m
全過程系統(tǒng)減少的重力勢能為：
△E_p=（m₁+m₂+…+m₅）gx_msin37°+m₆g（L+x₂）sin37°+m₇gx₂sin37°
=（2⁶+2⁵+…+2²）×48+132+24=4×（2⁵-1）×48+156=3×2¹¹-36=6108J
減少的動能為：△E_k=$\frac{1}{2}{m}_{1}{v}_{0}^{2}$=1024J
系統(tǒng)損失的機械能為：△E=△E_p+△E_k=7×10¹⁰-36=7132J．
答：（1）?塊1與?塊2碰后?塊2的速度??是4$\sqrt{2}$m/s；
（2）?塊1運動的最?位移是8m；
（3）整個過程所有?塊組成的系統(tǒng)損失的機械能是7132J．

點評 分析清楚木塊的運動過程，把握規(guī)律是解決本題的關鍵．要知道彈性碰撞遵守兩大守恒：動量守恒和機械能守恒．涉及求距離時要首先考慮動能定理．