Question

2．如圖甲所示，在平行邊界MN、PQ之間存在寬度為d的勻強(qiáng)電場(chǎng)，電場(chǎng)周期性變化的規(guī)律如圖乙所示，取豎直向下為電場(chǎng)正方向；在平行邊界MN、PQ左側(cè)和右側(cè)存在如圖甲所示的兩個(gè)長(zhǎng)為2d，寬為d的勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域Ⅰ和Ⅱ，其邊界點(diǎn)分別為PQCD和MNFE．已知區(qū)域Ⅱ內(nèi)勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小是區(qū)域Ⅰ內(nèi)勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小的3倍．在區(qū)域Ⅰ右邊界中點(diǎn)A處，有一質(zhì)量為m、電量為q、重力不計(jì)的帶正電粒子以初速度v₀沿豎直方向從磁場(chǎng)區(qū)域Ⅰ開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，以此作為計(jì)時(shí)起點(diǎn)，再經(jīng)過(guò)一段時(shí)間粒子又恰好回到A點(diǎn)，如此循環(huán)，粒子循環(huán)一周，電場(chǎng)恰好變化一個(gè)周期，已知粒子離開(kāi)區(qū)域Ⅰ進(jìn)入電場(chǎng)時(shí)，速度恰好與電場(chǎng)方向垂直，sin53°=0.8，cos53°=0.6．求：

（1）區(qū)域Ⅰ的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小B；
（2）電場(chǎng)強(qiáng)度大小E及電場(chǎng)的周期T．

Answer 1

分析 （1）粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)洛倫茲力提供向心力結(jié)合幾何關(guān)系，即可求出磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大�。�
（2）根據(jù)題意粒子運(yùn)動(dòng)周期與電場(chǎng)變化的周期相等，求出粒子一周期運(yùn)動(dòng)時(shí)間，得到結(jié)果．

解答 解：（1）根據(jù)幾何關(guān)系可知粒子在區(qū)域Ⅰ做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑：r=d，
由洛倫茲力提供向心力可得：$q{v_0}B=\frac{{m{v_0}^2}}{r}$
聯(lián)立兩式得：$B=\frac{{m{v_0}}}{qd}$
（2）畫(huà)出粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡示意圖如圖所示，
粒子在區(qū)域Ⅰ做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，圓心為O₁，粒子從區(qū)域Ⅰ進(jìn)入電場(chǎng)，在電場(chǎng)中做類平拋運(yùn)動(dòng)，
在區(qū)域Ⅱ做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，圓心為O₂半徑記為R，在區(qū)域Ⅱ做勻速圓周運(yùn)動(dòng)圓心O₂與區(qū)域Ⅰ做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的圓心O₁的連線必須與邊界垂直才能完成上述運(yùn)動(dòng)．
粒子從區(qū)域Ⅰ進(jìn)入電場(chǎng)做類平拋運(yùn)動(dòng)
根據(jù)牛頓第二定律可得：Eq=ma
水平方向：d=v₀t
豎直方向：$y=\frac{1}{2}a{t^2}=\frac{1}{2}\frac{qE}{m}{t^2}$
離開(kāi)電場(chǎng)時(shí)沿電場(chǎng)方向的速度：${v_y}=at=\frac{qE}{m}\fracuw76stm{v_0}$，
離開(kāi)電場(chǎng)時(shí)速度方向與邊界MN的夾角為θ，離開(kāi)電場(chǎng)時(shí)速度為v，
則：v₀=vsinθ
粒子在區(qū)域Ⅱ做勻速圓周運(yùn)動(dòng)由洛倫茲力提供向心力知：qv•3B=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
由幾何關(guān)系有：2y+2Rsinθ=2d
聯(lián)立以上各式得：$E=\frac{4mv_0^2}{3qd}$
由：$tanθ=\frac{v_0}{v_y}=\frac{mv_0^2}{qEd}$，得：θ=37°
粒子在區(qū)域Ⅰ中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間：${t_1}=\frac{πd}{v_0}$
粒子在區(qū)域Ⅱ中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間：${t_2}=\frac{{{{37}^0}}}{{{{180}^0}}}\frac{2πR}{v}=\frac{37πd}{{270{v_0}}}$
粒子在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間：${t_3}=\frac{2d}{v_0}$
電場(chǎng)變化的周期等于粒子運(yùn)動(dòng)的周期，所以電場(chǎng)周期：$T={t_1}+{t_2}+{t_3}=\frac{307π+540}{{270{v_0}}}d$
答：（1）區(qū)域Ⅰ的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小B為$\frac{m{v}_{0}}{qd}$；
（2）電場(chǎng)強(qiáng)度大小E及電場(chǎng)的周期T為$\frac{307π+540}{270{v}_{0}}$d．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了粒子在電場(chǎng)中的類平拋運(yùn)動(dòng)和在磁場(chǎng)中的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，關(guān)鍵是畫(huà)出運(yùn)動(dòng)軌跡，粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)利用洛倫茲力提供向心力結(jié)合幾何關(guān)系求解，利用周期公式結(jié)合粒子轉(zhuǎn)過(guò)的圓心角求解粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，粒子在電場(chǎng)中的類平拋運(yùn)動(dòng)運(yùn)用運(yùn)動(dòng)的合成和分解結(jié)合牛頓第二定律運(yùn)動(dòng)學(xué)規(guī)律求解．