Question

3．如圖所示，北斗導(dǎo)航系統(tǒng)中兩顆衛(wèi)星，均為地球同步衛(wèi)星．某時刻位于軌道上的A、B兩位置．設(shè)地球表面赤道處的重力加速度為g，地球半徑為R，地球自轉(zhuǎn)周期為T．則（　　）

• A． 兩衛(wèi)星軌道半徑均為$\root{3}{{{R^3}+{{（{\frac{RT}{2π}}）}^2}g}}$
• B． 兩衛(wèi)星軌道半徑均為$\root{3}{{{{（{\frac{RT}{2π}}）}^2}g}}$
• C． 衛(wèi)星1由A運動到B所需的最短時間為$\frac{T}{3}$
• D． 兩衛(wèi)星角速度大小均為$\frac{2π}{T}$

Answer 1

分析 根據(jù)萬有引力提供向心力，求出軌道半徑，再根據(jù)地球表面的物體受到的重力等于萬有引力，化簡得到軌道半徑．
同步衛(wèi)星做勻速圓周運動，衛(wèi)星1由位置A運動到位置B所需的時間t=$\frac{θ}{2π}T$，代入角度值化簡即可．兩同步衛(wèi)星的周期T相同，所以角速度均為$ω=\frac{2π}{T}$．

解答 解：AB、根據(jù)萬有引力提供向心力$G\frac{Mm}{{r}^{2}}=m\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}r$，得$r=\root{3}{\frac{GM{T}^{2}}{4{π}^{2}}}$．
又因為地球表面的物體受到的重力等于萬有引力與向心力之差，即為$m′g=G\frac{Mm′}{{R}^{2}}$-m′$\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}R$，
解得r=$\root{3}{{{R^3}+{{（{\frac{RT}{2π}}）}^2}g}}$，故A正確、B錯誤．
C、同步衛(wèi)星做勻速圓周運動，故衛(wèi)星l由A運動到B所需的最短時間為t=$\frac{θ}{2π}T$=$\frac{\frac{π}{3}T}{2π}=\frac{T}{6}$，故C錯誤．
D、兩同步衛(wèi)星的周期T相同，所以角速度均為$ω=\frac{2π}{T}$，故D正確．
故選：AD．

點評 解決本題的關(guān)鍵掌握萬有引力提供向心力以及萬有引力等于重力這兩大理論，并能熟練運用．