Question

2．如圖所示，在平面坐標(biāo)系的第I象限內(nèi)，直線OP與x軸正向的夾角θ為$\frac{π}{4}$，OP與y軸之間存在垂直于坐標(biāo)平面向外的，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B的勻強(qiáng)磁場；OP與x軸之間有方向沿x軸負(fù)方向的勻強(qiáng)電場．一質(zhì)量為m、電荷量為q的帶正電粒子（粒子重力不計(jì)），從原點(diǎn)O沿y軸正方向以速度v₀射入磁場，從x軸上某處沿與x軸負(fù)向成$\frac{π}{4}$角的方向離開第I象限．求：
（1）粒子第一次經(jīng)過直線OP時(shí)的坐標(biāo)．
（2）電場強(qiáng)度的大�。�
（3）若只在第Ⅳ象限中適當(dāng)區(qū)域加一方向垂直坐標(biāo)平面，磁感應(yīng)強(qiáng)度為2B的圓形勻強(qiáng)磁場，使粒子能再次經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O且與y軸正向夾角為$\frac{π}{4}$進(jìn)入第Ⅱ象限．試計(jì)算所加磁場的最小面積是多少？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)左手定則可得．粒子在磁場中向右偏轉(zhuǎn)，結(jié)合洛倫茲力提供向心力放電方程即可求出坐標(biāo)；
（2）粒子在進(jìn)入電場后做類平拋運(yùn)動，將運(yùn)動分解，即可求出電場強(qiáng)度；
（3）用矢量分解與合成的方法求出粒子進(jìn)入第四象限的速度，結(jié)合半徑公式、軌跡圖與幾何關(guān)系即可求解

解答 解：（1）根據(jù)牛頓第二定律$qVB=m\frac{{V}^{2}}{R}$
所以R=$\frac{m{V}_{0}}{qB}$
粒子從O點(diǎn)沿y軸正方向射出后經(jīng)四分之一個(gè)圓周到達(dá)直線OP上的A點(diǎn)，所以第一次經(jīng)過直線OP時(shí)的坐標(biāo)為
$（\frac{m{V}_{0}}{qB}，\frac{m{V}_{0}}{qB}）$
（2）分析可知，此后粒子將沿x軸正方向進(jìn)入電場中，減速到零后方向加速又回到磁場，經(jīng)過四分之三個(gè)圓周后又從D點(diǎn)沿y軸負(fù)方向進(jìn)入電場做類平拋運(yùn)動，最后經(jīng)過x軸．分析可知，D點(diǎn)離x軸的距離為2R
-y方向粒子做勻速直線運(yùn)動：2R=V₀t
-x方向粒子做勻加速直線運(yùn)動：V_x=at，a=$\frac{qE}{m}$
分解速度：tan45°=$\frac{{V}_{0}}{{V}_{x}}$
解得E=$\frac{B{V}_{0}}{2}$
（3）粒子進(jìn)入第四象限，速度大小V=$\sqrt{2}{V}_{0}$
在磁感應(yīng)強(qiáng)度為2B的磁場中的軌道半徑大小為：R$′=\frac{\sqrt{2}}{2}R$=$\frac{\sqrt{2}m{V}_{0}}{2qB}$
速度方向偏轉(zhuǎn)$\frac{π}{4}$可以滿足題目條件，因此加最小面積的磁場如圖所示．
最小圓形區(qū)域直徑 d=$\sqrt{2}R′$
最小面積 S=$\frac{1}{4}πj08hobo^{2}$=$\frac{π{m}^{2}{V}_{0}^{2}}{4{q}^{2}{B}^{2}}$
答：（1）粒子第一次經(jīng)過直線OP時(shí)的坐標(biāo)$（\frac{m{V}_{0}}{qB}，\frac{m{V}_{0}}{qB}）$．
（2）電場強(qiáng)度的大小$\frac{B{V}_{0}}{2}$．
（3）若只在第Ⅳ象限中適當(dāng)區(qū)域加一方向垂直坐標(biāo)平面，磁感應(yīng)強(qiáng)度為2B的圓形勻強(qiáng)磁場，使粒子能再次經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O且與y軸正向夾角為$\frac{π}{4}$進(jìn)入第Ⅱ象限．試計(jì)算所加磁場的最小面積是$\frac{π{m}^{2}{V}_{0}^{2}}{4{q}^{2}{B}^{2}}$

點(diǎn)評 考查帶電粒子做勻速圓周運(yùn)動與類平拋運(yùn)動中，用牛頓第二定律與運(yùn)動學(xué)公式，并結(jié)合幾何關(guān)系來處理這兩種運(yùn)動，強(qiáng)調(diào)運(yùn)動的分解，并突出準(zhǔn)確的運(yùn)動軌跡圖