Question

6．如圖所示，兩個$\frac{3}{4}$豎直圓弧軌道固定在同一水平地面上，半徑R相同，左側軌道由金屬凹槽制成，右側軌道由金屬圓管制成，均可視為光滑．在兩軌道右側的正上方分別將金屬小球A和B由靜止釋放，小球距離地面的高度分別為h_A和h_B，下列說法正確的是（　�。�

• A． 若使小球沿軌道運動并且到達最高點，兩球釋放的最小高度h_A＜h_B
• B． 在軌道最低點，A球受到的支持力最小值為6mg
• C． 在軌道最低點，B球受到的支持力最小值為6mg
• D． 適當調整h_A和h_B，可使兩球從軌道最高點飛出后，均恰好落在軌道右端口處

Answer 1

分析 小球A恰好能到A軌道的最高點時，軌道對小球無作用力，由重力提供小球的向心力，由牛頓第二定律求出速度．小球恰好能到B軌道的最高點時，速度為零，根據機械能守恒分別求出h_A和h_B．再判斷h_A=h_B=2R，兩小球是否能沿軌道運動到最高點．根據最高點的臨界速度求出小球最高點飛出的水平位移的最小值．

解答 解：A、小球A恰好能到A軌道的最高點時，由mg=m$\frac{{v}_{A}^{2}}{R}$，v_A=$\sqrt{gR}$，根據機械能守恒定律得，mg（h_A-2R）=$\frac{1}{2}m{v}_{A}^{2}$，解得h_A=$\frac{5}{2}R$；小球B恰好能到B軌道的最高點時，在最高點的速度v_B=0，根據機械能守恒定律得h_B=2R．故A錯誤．
    B、小球在最低點受到的支持力與重力的合力提供向心力，則：${F}_{N}-mg=\frac{m{v}^{2}}{R}$   ①
可知小球在最低點的速度越小，則受到的支持力越�。�
根據機械能守恒定律可得，當小球A開始時的高度是h_A=$\frac{5}{2}R$時，小球A在最低點的速度最小，為：
$\frac{1}{2}m{v}_{Amin}^{2}=mg{h}_{A}$  ②
聯(lián)立①②得：F_NAmin=6mg．故B正確；
   C、根據機械能守恒定律可得，當小球B開始時的高度是h_B=2R 時，小球B在最低點的速度最小，為：
$\frac{1}{2}m{v}_{Bmin}^{2}=mg{h}_{B}$   ③
聯(lián)立①③得：F_Bmin=5mg．故C錯誤．
    D、小球A從最高點飛出后下落R高度時，水平位移的最小值為x_A=v_A$\sqrt{\frac{2R}{g}}$=$\sqrt{gR}$$•\sqrt{\frac{2R}{g}}$=$\sqrt{2}R$＞R，小球落在軌道右端口外側．而適當調整h_B，B可以落在軌道右端口處．故D錯誤．
故選：B

點評 本題是向心力、機械能守恒定律、平拋運動的綜合，A軌道與輕繩系的球模型相似，B軌道與輕桿固定的球模型相似，要注意臨界條件的不同．