Question

19．在游樂節(jié)目中，選手需借助懸掛在高處的繩飛越到水面的浮臺上，小明和小陽觀看后對此進行了討論．如圖所示，他們將選手簡化為質(zhì)量m=60kg 的質(zhì)點，選手抓住繩由靜止開始擺動，此時繩與豎直方向夾角α=53°，繩的懸掛點O距水面的高度為H=3m，不考慮空氣阻力和繩的質(zhì)量，浮臺露出水面的高度不計，水足夠深．取重力加速度g=10m/s²，sin53°=0.8，cos53°=0.6．
（1）求選手擺到最低點時所受的向心力的大�。�
（2）若繩長l=2m，選手擺到最高點時松手落入水中．設(shè)水對選手的平均浮力f₁=800N，平均阻力f₂=700N，求選手落入水中的深度d；
（3）若選手擺到最低點時松手，小明認為繩越長，在浮臺上的落點距岸邊越遠；小陽卻認為繩越短，落點距岸邊越遠．請通過推算說你的觀點．

Answer 1

分析 （1）選手擺到最低點過程中機械能守恒，根據(jù)機械能守恒定律即可求得選手擺到最低點時速度的大小，再根據(jù)向心力公式求解．
（2）若繩長l=2m，選手擺到最高點時離水面的高度為H-lcos53°，從選手開始下落到速度減為零的過程中，重力做正功，浮力和阻力做負功，對全過程運用動能定理求解選手落入水中的深度d．
（3）選手從最低點開始做平拋運動．對于平拋運動沿水平和豎直兩個方向進行分解，水平方向上是勻速直線運動，豎直方向上時自由落體運動，分別列出位移式子，聯(lián)立后進行數(shù)學分析，得出當l=1.5m時，水平方向由最大值．再說明自己的觀點．

解答 解：
（1）選手從靜止擺到最低點過程中機械能守恒，對選手運用機械能守恒定律有：
   $mgl（1-cosα）=\frac{1}{2}m{v}^{2}$ ①
代入數(shù)據(jù)得：v=$\sqrt{2×10×2×（1-0.6）}$m/s=4m/s，
則選手擺到最低點時所受的向心力的大小${F}_{n}=m\frac{{v}^{2}}{l}=60×\frac{16}{2}=1080N$
（2）對選手開始下落到在水中速度為零整個過程進行分析，重力、浮力和阻力分別做功，
設(shè)進入水的深度為d，由動能定理有：
  mg（H-lcosα+d）-（F₁+F₂）d=0
代入數(shù)據(jù)解得：d=1.2m
（3）選手從最低點開始做平拋運動，則有：
水平方向有：x=vt  ③
豎直方向有：H-l=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$ ④
解得：x=2$\sqrt{l（H-l）（1-cosα）}$
當l=H-l，即 l=$\frac{H}{2}$=1.5m時，x有最大值．
因此，兩人的看法均不正確，當繩長越接近1.5m時，落點距岸邊越遠．
答：
（1）選手擺到最低點時所受的向心力的大小為1080N；
（2）選手落入水中的深度為1.2m；
（3）兩人的看法均不正確，當繩長越接近1.5m時，落點距岸邊越遠．

點評 本題考查到了機械能守恒，圓周運動向心力，動能定理，平拋運動規(guī)律及求極值問題．解答第二問時，一定注意要求的是選手對繩子的拉力．解題過程中是對選手進行受力分析的，故不要忘記應(yīng)用牛頓第三定律．關(guān)于物理當中的極值問題，運用數(shù)學上函數(shù)法求解．