Question

3．如圖所示，質(zhì)量為m的足夠長的“[”金屬導(dǎo)軌abcd放在傾角為θ的光滑絕緣斜面上，bc段電阻為R，其余段電阻不計．另一電阻為R、質(zhì)量為m的導(dǎo)體棒PQ放置在導(dǎo)軌上，始終與導(dǎo)軌接觸良好，PbcQ構(gòu)成矩形．棒與導(dǎo)軌間動摩擦因數(shù)為μ，棒左側(cè)有兩個固定于斜面的光滑立柱．導(dǎo)軌bc段長為L，以ef為界，其左側(cè)勻強(qiáng)磁場垂直斜面向上，右側(cè)勻強(qiáng)磁場方向沿斜面向上，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小均為B．在t=0時，一沿斜面方向的作用力F垂直作用在導(dǎo)軌的bc邊上，使導(dǎo)軌由靜止開始沿斜面向下做勻加速直線運動，加速度為a．
（1）請通過計算證明開始一段時間內(nèi)PQ中的電流隨時間均勻增大．
（2）求在電流隨時間均勻增大的時間內(nèi)棒PQ橫截面內(nèi)通過的電量q和導(dǎo)軌機(jī)械能的變化量△E．
（3）請在F-t圖上定性地畫出電流隨時間均勻增大的過程中作用力F隨時間t變化的可能關(guān)系圖，并寫出相應(yīng)的條件．（以沿斜面向下為正方向）

Answer 1

分析 （1）根據(jù)E=BLv、v=at和歐姆定律，得到感應(yīng)電流的表達(dá)式，即可分析．
（2）根據(jù)電量公式q=It，由于電流均勻增大，I要用電流的平均值求．根據(jù)能量守恒定律求導(dǎo)軌機(jī)械能的變化量△E．
（3）分三種情況：a≥gsinθ-μgcosθ、a≤gsinθ-μgcosθ、gsinθ-gcosθ＜a＜gsinθ-μgcosθ進(jìn)行討論分析．

解答 解：（1）PQ中的電流為：I=$\frac{BLv}{2R}$=$\frac{BLat}{2R}$
因為$\frac{BLa}{2R}$是常數(shù)，所以I∝t，即電流隨時間均勻增大．
當(dāng)PQ受到的安培力大于mgcosθ時，PQ會離開斜面，電路不再閉合，回路中會短時無電流．
F_A=BIL=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}a{t}_{m}}{2R}$=mgcosθ
即：t_m=$\frac{2mgRcosθ}{{B}^{2}{L}^{2}a}$
（2）棒PQ橫截面內(nèi)通過的電量為：q=It_m=$\frac{1}{2}$•$\frac{BLa{t}_{m}}{2R}$t_m=$\frac{BLa{t}_{m}^{2}}{4R}$=$\frac{{m}^{2}{g}^{2}Rco{s}^{2}θ}{{B}^{3}{L}^{3}a}$
導(dǎo)軌機(jī)械能的變化量為：E=$\frac{1}{2}$mv²-mgh=$\frac{1}{2}$mat_m²（a-gsinθ）=$\frac{2{m}^{3}{g}^{2}{R}^{2}co{s}^{2}θ}{{B}^{4}{L}^{4}a}$（a-gsinθ）
（3）①若a≥gsinθ-μgcosθ，則F始終向下，且隨時間均勻增大；
②若 a≤gsinθ-μgcosθ，則F始終向上，且隨時間均勻減�。╰_m時F仍向上或為零）；
③若gsinθ-μgcosθ＜a＜gsinθ+μgcosθ，則F先向上逐漸減小，后向下逐漸增大．F隨時間t變化的可能關(guān)系圖如圖所示．
答：
（1）證明見上．
（2）棒PQ橫截面內(nèi)通過的電量q為$\frac{{m}^{2}{g}^{2}Rco{s}^{2}θ}{{B}^{3}{L}^{3}a}$，導(dǎo)軌機(jī)械能的變化量△E為$\frac{2{m}^{3}{g}^{2}{R}^{2}co{s}^{2}θ}{{B}^{4}{L}^{4}a}$（a-gsinθ）．
（3）①若a≥gsinθ-μgcosθ，則F始終向下，且隨時間均勻增大；
②若 a≤gsinθ-μgcosθ，則F始終向上，且隨時間均勻減�。╰_m時F仍向上或為零）；
③若a先小于gsinθ-μgcosθ，后大于gsinθ-μgcosθ，則F先向上逐漸減小，后向下逐漸增大．F隨時間t變化的可能關(guān)系圖如圖所示．

點評 解決本題的關(guān)鍵要正確分析導(dǎo)軌的運動情況，來確定其受力情況，運用牛頓第二定律、能量守恒定律等力學(xué)規(guī)律研究．