Question

10．如圖所示在一個(gè)B=2T的勻強(qiáng)磁場中，有一個(gè)邊長L=0.2m的正方形線框，線框匝數(shù)n=10，線框內(nèi)阻r=0.1Ω．開始時(shí)線框平面和磁場方向垂直，線框繞垂直于磁場方向的中心軸以360r/min的轉(zhuǎn)速勻速轉(zhuǎn)動，從圖示時(shí)刻開始計(jì)時(shí)，求：
（1）過線框的磁通量隨時(shí)間變化的表達(dá)式．
（2）線框中產(chǎn)生的電動勢隨時(shí)間變化的表達(dá)式．
（3）線框中電流隨時(shí)間變化的圖象．（規(guī)定沿abcd流的電流為正）
（4）線框轉(zhuǎn)過90°的過程中，線框中電流的平均值，通過線框橫截面的電量．
（5）線框轉(zhuǎn)過90°的過程中，線框中電流的有效值，電流通過線框時(shí)產(chǎn)生的發(fā)熱量．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)磁通量∅=BScosωt，再結(jié)合ω=2πn，即可求解；
（2、3）先根據(jù)E_m=nBSω求出最大電動勢，再根據(jù)閉合電路歐姆定律求出電流的最大值，最后根據(jù)感應(yīng)電流與感應(yīng)電動勢的瞬時(shí)值表達(dá)式的關(guān)系即可求解；
（4）先求出電動勢的平均值，根據(jù)歐姆定律求出電流平均值，再根據(jù)q=$\overline{I}t$求解電量；
（5）先求出電流的有效值，再根據(jù)Q=I²rt求解熱量．

解答 解：（1）根據(jù)ω=2πn=2π×$\frac{360}{60}$=12πrad/s，
而磁通量∅=BScosωt=2×0.2×0.2×cos12πt（Wb）=0.08cos12πt（Wb）；
（2）產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢最大值為E_m=nBSω=10×2×0.2×0.2×12πV=9.6πV
那么線框中產(chǎn)生的電動勢隨時(shí)間變化的表達(dá)式：e=9.6πsin12πt（V）；
（3）根據(jù)閉合電路歐姆定律，電流的最大值I_m=$\frac{{E}_{m}}{{R}_{總}}$=96πA
在圖示位置時(shí)，電流有最小值，則電流的瞬時(shí)值表達(dá)式為i=I_msinωt，代入數(shù)值得
感應(yīng)電流的瞬時(shí)表達(dá)式為：i=96πsin12πt（A）
因規(guī)定電流沿abcda的方向?yàn)檎�，則線框中電流隨時(shí)間變化的圖象如下圖所示：

（4）在轉(zhuǎn)過90°過程中的平均值為：
E_平均=$n\frac{△∅}{△t}=n\frac{BS}{\frac{T}{4}}=\frac{10×2×0.2×0.2}{\frac{1}{4}×\frac{2π}{12π}}$=19.2V
線框中電流的平均值$\overline{I}=\frac{{E}_{平均}}{r}=\frac{19.2}{0.1}=192A$，
通過線框橫截面的電量q=$\overline{I}t=192×\frac{1}{4}×\frac{2π}{12π}=8C$
（5）電流的有效值I=$\frac{{I}_{m}}{\sqrt{2}}=\frac{9.6π}{0.1×\sqrt{2}}=\frac{96π}{\sqrt{2}}A$=213.2A，
則電流通過線框時(shí)產(chǎn)生的發(fā)熱量Q=${I}^{2}rt=（{\frac{96π}{\sqrt{2}}）}^{2}×0.1×\frac{1}{4}×\frac{2π}{12π}$=189.3J
答：（1）穿過線框的磁通量隨時(shí)間變化的表達(dá)式0.08cos12πt（Wb）；
（2）線框中產(chǎn)生的電動勢隨時(shí)間變化的表達(dá)式9.6πsin12πt（V）；
（3）畫出線框中電流隨時(shí)間變化的圖象如上圖所示；
（4）線框轉(zhuǎn)過90°的過程中，線框中電流的平均值為192A，通過線框橫截面的電量為8C．
（5）線框轉(zhuǎn)過90°的過程中，線框中電流的有效值為213.2A，電流通過線框時(shí)產(chǎn)生的發(fā)熱量為189.3J．

點(diǎn)評 本題考查了有關(guān)交流電描述的基礎(chǔ)知識，要能根據(jù)題意寫出瞬時(shí)值的表達(dá)式，知道有效值跟峰值的關(guān)系，注意磁通量大小與線圈的匝數(shù)無關(guān)，同時(shí)注意線圈的開始計(jì)時(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．