Question

1．如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，第I象限內(nèi)有沿y軸負(fù)向的勻強(qiáng)電場(chǎng)，電場(chǎng)強(qiáng)度的大小為E，第Ⅳ象限內(nèi)有垂直紙面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)．在y軸上的P點(diǎn)沿x軸正向發(fā)射質(zhì)量為m、電荷量為q的帶正電粒子，粒子從x軸上Q點(diǎn)射人磁場(chǎng)．已知Q點(diǎn)坐標(biāo)為（L，0）．不計(jì)粒子的重力及相互間作用．
（1）若粒子在Q點(diǎn)的速度方向與x軸成30°角．求P點(diǎn)的坐標(biāo)及粒子在Q點(diǎn)的速度大小：
（2）若從y軸的正半軸上各點(diǎn)處均向x軸正向發(fā)射與（1）中相同的粒子，結(jié)果這些粒子均能從x軸上的Q點(diǎn)進(jìn)入磁場(chǎng)，并且到Q點(diǎn)速度最小的粒子A，經(jīng)磁場(chǎng)偏轉(zhuǎn)后．恰好垂直y軸射出磁場(chǎng)，求勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小及粒子A在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間．

Answer 1

分析 （1）粒子從P到Q是類(lèi)似平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)分運(yùn)動(dòng)公式列式求解即可；
（2）對(duì)類(lèi)似平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)分運(yùn)動(dòng)公式求解出末速度表達(dá)式討論最小速度大小和對(duì)應(yīng)的拋出點(diǎn)坐標(biāo)；
粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，畫(huà)出運(yùn)動(dòng)的軌跡，結(jié)合幾何關(guān)系得到軌道半徑；然后根據(jù)牛頓第二定律列式求解磁感應(yīng)強(qiáng)度，根據(jù)公式t=$\frac{s}{v}$求解運(yùn)動(dòng)時(shí)間．

解答 解：（1）粒子從P到Q過(guò)程，根據(jù)分運(yùn)動(dòng)公式，有：
v_x=v₀    v_y=at   $tan30°=\frac{{v}_{y}}{{v}_{x}}$
L=v₀t    y=$\frac{1}{2}a{t}^{2}$
其中：a=$\frac{qE}{m}$
聯(lián)立解得：
y=$\frac{\sqrt{3}}{6}L$ 
t=$\sqrt{\frac{\sqrt{3}mL}{3qE}}$
v_x=$\sqrt{\frac{\sqrt{3}qEL}{m}}$
v_y=$\sqrt{\frac{\sqrt{3}qEL}{3m}}$
故v=$\sqrt{{v}_{x}^{2}+{v}_{y}^{2}}$=2$\sqrt{\frac{\sqrt{3}qEL}{3m}}$
（2）設(shè)P點(diǎn)的縱坐標(biāo)為y，則：
對(duì)豎直分運(yùn)動(dòng)，有：y=$\frac{1}{2}•\frac{qE}{m}•{t}^{2}$ 
對(duì)水平分運(yùn)動(dòng)，有：L=v_xt
Q點(diǎn)的合速度：v=$\sqrt{{v}_{x}^{2}+（at）^{2}}$=$\sqrt{{v}_{x}^{2}+{（\frac{qE}{m}•t）}^{2}}$
聯(lián)立解得：v=$\sqrt{\frac{qE}{m}（\frac{{L}^{2}}{2y}+2y）}$
其中：$\frac{{L}^{2}}{2y}+2y≥2\sqrt{\frac{{L}^{2}}{2y}}\sqrt{2y}=2L$（當(dāng)$\frac{L^2}{2y}=2y$，即$y=\frac{1}{2}L$時(shí)取等號(hào)）
故當(dāng)y=$\frac{L}{2}$時(shí)，v最小，為$\sqrt{\frac{2qEL}{m}}$；
類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)中速度偏轉(zhuǎn)角的正切值是位移偏轉(zhuǎn)角的正切值的2倍，故在Q點(diǎn)的速度偏轉(zhuǎn)角的正切值為：
tanα=2×$\frac{\frac{1}{2}L}{L}$=1
故α=45°
粒子進(jìn)入磁場(chǎng)后做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，軌跡如圖所示：

故對(duì)應(yīng)的圓心角為θ=$\frac{3}{4}π$；
結(jié)合幾何關(guān)系，有：r=$\frac{L}{sin45°}$=$\sqrt{2}L$
故粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為：t=$\frac{rθ}{v}$=$\frac{{\sqrt{2}L•\frac{3}{4}π}}{{\sqrt{\frac{2qEL}{m}}}}=\frac{3}{4}\sqrt{2}π\(zhòng)sqrt{\frac{mL}{2qE}}$
根據(jù)牛頓第二定律，有：$qvB=m\frac{v^2}{r}$
解得：B=$\sqrt{\frac{Em}{qL}}$
答：（1）P點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，$\frac{\sqrt{3}}{6}L$），粒子在Q點(diǎn)的速度大小為2$\sqrt{\frac{\sqrt{3}qEL}{3m}}$；
（2）勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為$\sqrt{\frac{Em}{qL}}$，粒子A在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為$\frac{3}{4}\sqrt{2}π\(zhòng)sqrt{\frac{mL}{2qE}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了粒子在電場(chǎng)與磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，粒子在電場(chǎng)中做類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)，在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，對(duì)于第二問(wèn)，關(guān)鍵是根據(jù)類(lèi)似平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律求解出速度表達(dá)式，運(yùn)用數(shù)學(xué)不等式的知識(shí)確定最小速度的大小與方向，同時(shí)要結(jié)合牛頓第二定律、幾何關(guān)系列式分析，不難．