Question

13．如圖所示，三個(gè)同心圓將空間分隔成四個(gè)區(qū)域，圓I的半徑為R；圓II的半徑為2R，在圓I與圓Ⅱ間的環(huán)形區(qū)域內(nèi)存在垂直于紙面向外的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)；圓III是一絕緣圓柱形管，半徑為4R，在圓Ⅱ與圓III間存在垂直于紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)B₁．在圓心O處有一粒子源，該粒子源可向各個(gè)方向射出速率相同、質(zhì)量為m、帶電荷量為q的粒子，粒子重力不計(jì)．假設(shè)粒子每一次經(jīng)過(guò)圓Ⅱ且與該圓相切時(shí)均進(jìn)入另一磁場(chǎng)．粒子源所射出的粒子剛好沿圓II的切線方向進(jìn)入勻強(qiáng)磁場(chǎng)B₁．
（1）求粒子的速度大��；
（2）若進(jìn)入勻強(qiáng)磁場(chǎng)B₁的粒子剛好垂直打在圓III的管壁上，求B₁的大�。ǹ捎肂表示）；
（3）若打在圓III管壁上的粒子能原速率反彈，求粒子從O點(diǎn)開(kāi)始到第一次回到O點(diǎn)所經(jīng)歷的時(shí)間．

Answer 1

分析 （1）由題意，粒子進(jìn)入兩磁場(chǎng)的界面時(shí)均與界面相切，畫(huà)出粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡，由幾何關(guān)系求出粒子在Ⅱ區(qū)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑，由洛侖茲力提供向心力從而求出粒子的速度．
（2）由題設(shè)條件，粒子是垂直打在管道上，由幾何關(guān)系畫(huà)出此種情況下粒子的軌跡，由勾股定理求出粒子在Ⅲ區(qū)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑，由洛侖茲力提供向心力，結(jié)合粒子在Ⅱ區(qū)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的關(guān)系，從而Ⅲ區(qū)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大�。�
（3）由幾何關(guān)系分別求出粒子在Ⅱ區(qū)Ⅲ區(qū)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的偏轉(zhuǎn)角，而半徑分別在前兩問(wèn)中已經(jīng)求出，根據(jù)粒子運(yùn)動(dòng)的對(duì)稱性，一共是四段圓弧和兩段直線運(yùn)動(dòng)，由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求出粒子第一次返回O點(diǎn)的時(shí)間．

解答 解：（1）粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示
由牛頓第二定律得：Bqv=$\frac{m{v}^{2}}{{r}_{1}}$
由幾何關(guān)系得：r₁²+R²=（2R-r₁）²
解得：v=$\frac{3BqR}{4m}$
（2）由牛頓第二定律得B₁qv=$\frac{m{v}^{2}}{{r}_{2}}$
由幾何關(guān)系得：r₂²+（4R）²=（2R+r₂）²
解得：B₁=$\frac{B}{4}$
（3）由幾何關(guān)系得：圓心角θ₁=127°
 圓心角θ₂=53°
 粒子運(yùn)動(dòng)的第一段弧長(zhǎng)：l₁=$\frac{{θ}_{1}}{360°}×2π{r}_{1}$
粒子運(yùn)動(dòng)的第二段弧長(zhǎng)：l₂=$\frac{{θ}_{2}}{360°}×2π{r}_{2}$
由幾何關(guān)系知粒子第一次回到O點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間：vt=2（l₁+l₂+R）
解得：t=$\frac{（80+113π）m}{30qB}$
答：（1）求粒子的速度大小為$\frac{3BqR}{4m}$．
（2）若進(jìn)入勻強(qiáng)磁場(chǎng)B₁的粒子剛好垂直打在圓III的管壁上，B₁的大小為$\frac{B}{4}$．
（3）若打在圓III管壁上的粒子能原速率反彈，則粒子從O點(diǎn)開(kāi)始到第一次回到O點(diǎn)所經(jīng)歷的時(shí)間為$\frac{（80+113π）m}{30qB}$．

點(diǎn)評(píng) 本題涉及到的是帶電粒子在圓形磁場(chǎng)和環(huán)形磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的特殊情況：①沿半徑方向射入圓形磁場(chǎng)，射出時(shí)與界面相切，用勾股定理求出半徑，由洛侖茲力提供向心力從而求出進(jìn)入磁場(chǎng)的速度．②從環(huán)形磁場(chǎng)的內(nèi)邊界進(jìn)入場(chǎng)區(qū)，垂直打在外邊界，同樣由勾股定理求出在該區(qū)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑，從而求出該區(qū)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大�。�