Question

3．如圖所示為固定在水平地面上的頂角為α的圓錐體，其表面光滑．有一質(zhì)量為m、長為L的鏈條靜止在圓錐體的表面上，已知重力加速度為g，若圓錐體對圓環(huán)的作用力大小為F，鏈條中的張力為T，則有（　�。�

• A． F=mg
• B． F=$\frac{mg}{sin\frac{α}{2}}$
• C． T=$\frac{mg}{πtan\frac{α}{2}}$
• D． T=$\frac{mg}{2πtan\frac{α}{2}}$

Answer 1

分析 對圓環(huán)受力分析，根據(jù)共點力平衡求出圓錐體對圓環(huán)的作用力大小，取軟繩中很小的一段質(zhì)量元進行分析，根據(jù)受力分析可求得張力與合力的關(guān)系；再由共點力的平衡條件可明確合力與重力之間的關(guān)系，聯(lián)立可求得張力T．

解答 解：A、因為圓環(huán)受重力和圓錐體對圓環(huán)的作用力處于平衡，則圓錐體對圓環(huán)的作用力等于圓環(huán)的重力，即F=mg．故A正確，B錯誤；
C、設(shè)質(zhì)量元△m兩端所受張力為T，其合力為F，因為它所對的圓心角θ很小，所以sinθ等價于θ，即：則F=2Tsin（$\frac{θ}{2}$）=Tθ，
質(zhì)量元受重力△mg、支持力N和張力的合力F而處于平衡狀態(tài)，由幾何知識可得：
F=△mgcot（$\frac{α}{2}$）=$\frac{θ}{2π}m$gcot（$\frac{α}{2}$）
聯(lián)立解得：T=$\frac{mg}{2πtan\frac{α}{2}}$，故C錯誤，D正確．
故選：AD

點評 本題采用微元法進行分析，要注意明確繩上的張力與彈力之間的關(guān)系；并能正確根據(jù)共點田力的平衡進行分析求解，難度較大