Question

8．如圖所示，半徑為R的光滑半圓形軌道CDE在豎直平面內(nèi)與光滑水平軌道AC相切于C點，水平軌道AC上有一輕質(zhì)彈簧，彈簧左端連接在固定的擋板上．現(xiàn)用一個小球?qū)�彈簧壓縮（不栓接），當(dāng)彈簧的壓縮量為l時釋放質(zhì)量為m的小球．小球在運動過程中恰好通過半圓形軌道的最高點E，再次在B點用該小球壓縮彈簧，當(dāng)彈簧的壓縮量為2l時釋放小球，小球再次沿軌道運動到E點．試求小球第二次到達軌道最高點E時，小球與軌道間的相互作用力F的大小．已知彈簧壓縮時彈性勢能與壓縮量的二次方成正比，彈簧壓縮時始終處在彈性限度內(nèi)．

Answer 1

分析 根據(jù)牛頓第二定律求得第一次在E的速度，然后由動能定理求得彈性勢能；再根據(jù)彈性勢能和壓縮量的關(guān)系求得第二次彈性勢能，即可由動能定理求得在E點的速度，最后由牛頓第二定律求得作用力．

解答 解：當(dāng)彈簧的壓縮量為l時釋放質(zhì)量為m的小球．小球在運動過程中恰好通過半圓形軌道的最高點E，那么對小球在E點應(yīng)用牛頓第二定律可得：$mg=\frac{m{{v}_{E1}}^{2}}{R}$；
對小球運動到E的過程應(yīng)用動能定理可得：${E}_{p1}-2mgR=\frac{1}{2}m{{v}_{E1}}^{2}=\frac{1}{2}mgR$
解得：${E}_{p1}=\frac{5}{2}mgR$；
當(dāng)彈簧的壓縮量為2l時，由彈簧壓縮時彈性勢能與壓縮量的二次方成正比可知彈性勢能為：
${E}_{p2}={2}^{2}{E}_{p1}=10mgR$；
那么，對小球運動到E的過程應(yīng)用動能定理可得：${E}_{p2}-2mgR=\frac{1}{2}m{{v}_{E2}}^{2}$
解得：${v}_{E2}=4\sqrt{gR}$；
故對小球在E點應(yīng)用牛頓第二定律可得：$F+mg=\frac{m{{v}_{E2}}^{2}}{R}=16mg$
所以，小球第二次到達軌道最高點E時，小球與軌道間的相互作用力F的大小F=15mg；
答：小球第二次到達軌道最高點E時，小球與軌道間的相互作用力F的大小為15mg．

點評 經(jīng)典力學(xué)問題一般先對物體進行受力分析，求得合外力及運動過程做功情況，然后根據(jù)牛頓定律、動能定理及幾何關(guān)系求解．