Question

17．湯姆孫測(cè)定電子比荷（電子的電荷量與質(zhì)量之比）的實(shí)驗(yàn)裝置如圖所示．真空玻璃管內(nèi)，陰極K發(fā)出的電子經(jīng)加速后，穿過小孔A、C沿中心軸線OP₁進(jìn)入到兩塊水平正對(duì)放置的極板D₁、D₂間的區(qū)域，射出后到達(dá)右端的熒光屏上形成光點(diǎn)．若極板D₁、D₂間無電壓，電子將打在熒光屏上的中心P₁點(diǎn)；若在極板間施加偏轉(zhuǎn)電壓U，則電子將打P₂點(diǎn)，P₂與P₁點(diǎn)的豎直間距為b，水平間距可忽略不計(jì)．若再在極板間施加一個(gè)方向垂直于紙面向外、磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)（圖中未畫出），則電子在熒光屏上產(chǎn)生的光點(diǎn)又回到P₁點(diǎn)．已知極板的長(zhǎng)度為L(zhǎng)₁，極板間的距離為d，極板右端到熒光屏間的距離為L(zhǎng)₂．忽略電子的重力及電子間的相互作用．
（1）求電子進(jìn)入極板D₁、D₂間區(qū)域時(shí)速度的大小；
（2）推導(dǎo)出電子的比荷的表達(dá)式；
（3）若去掉極板D₁、D₂間的電壓，只保留勻強(qiáng)磁場(chǎng)B，電子通過極板間的磁場(chǎng)區(qū)域的軌跡為一個(gè)半徑為r的圓弧，陰極射線射出極板后落在熒光屏上的P₃點(diǎn)．不計(jì)P₃與P₁點(diǎn)的水平間距，求P₃與P₁點(diǎn)的豎直間距y．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)電子在極板D₁、D₂間受到電場(chǎng)力與洛倫茲力平衡時(shí)，做勻速直線運(yùn)動(dòng)，受力平衡，由平衡條件可求出電子運(yùn)動(dòng)速度．
（2）極板間僅有偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)時(shí)，電子在電場(chǎng)中做類平拋運(yùn)動(dòng)，將運(yùn)動(dòng)分解成沿電場(chǎng)強(qiáng)度方向與垂直電場(chǎng)強(qiáng)度方向，然后由牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式可求出偏轉(zhuǎn)距離和離開電場(chǎng)時(shí)的速度．電子離開電場(chǎng)后，做勻速直線運(yùn)動(dòng)，從而可以求出偏轉(zhuǎn)距離．
（3）極板D₁、D₂間僅有勻強(qiáng)磁場(chǎng)時(shí)，電子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，射出磁場(chǎng)后電子做勻速直線運(yùn)動(dòng)，畫出電子運(yùn)動(dòng)的軌跡，根據(jù)幾何知識(shí)求解y．

解答 解：（1）電子在極板D₁、D₂間電場(chǎng)力與洛倫茲力的作用下沿中心軸線運(yùn)動(dòng)，即受力平衡，設(shè)電子的進(jìn)入極板間時(shí)的速度為v．
由平衡條件有：
evB=eE
兩極板間電場(chǎng)強(qiáng)度：
$E=\frac{U}ivk7hbt$
解得：
$v=\frac{U}{Bd}$
（2）極板間僅有偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)時(shí)，電子以速度v進(jìn)入后，水平方向做勻速運(yùn)動(dòng)，在電場(chǎng)內(nèi)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間：
${t_1}=\frac{L_1}{v}$
電子在豎直方向做勻加速運(yùn)動(dòng)，設(shè)其加速度為a．
由牛頓第二定律有：
F=ma
解得加速度：
$a=\frac{eU}{md}$
電子射出極板時(shí)豎直方向的偏轉(zhuǎn)距離：
${y_1}=\frac{1}{2}at_1^2=\frac{eUL_1^2}{{2md{v^2}}}$
電子射出極板時(shí)豎直方向的分速度為：
v_y=at₁=$\frac{{eU{L_1}}}{mdv}$
電子離開極板間電場(chǎng)后做勻速直線運(yùn)動(dòng)，經(jīng)時(shí)間t₂到達(dá)熒光屏，t₂=$\frac{L_2}{v}$
電子在t₂時(shí)間在豎直方向運(yùn)動(dòng)的距離：
y₂=v_yt₂=$\frac{{eU{L_1}{L_2}}}{{md{v^2}}}$
這樣，電子在豎直方向上的總偏移距離：
b=y₁+y₂
解得電子比荷：
$\frac{e}{m}=\frac{2Ub}{{{L_1}（{L_1}+2{L_2}）d{B^2}}}$
（3）極板D₁、D₂間僅有勻強(qiáng)磁場(chǎng)時(shí)，電子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，射出磁場(chǎng)后電子做勻速直線運(yùn)動(dòng)，如答圖所示．

則：
$tanθ=\frac{L_1}{{\sqrt{{r^2}-L_1^2}}}$
穿出磁場(chǎng)后在豎直方向上移動(dòng)的距離：
${y_3}={L_2}tanθ=\frac{{{L_1}{L_2}}}{{\sqrt{{r^2}-L_1^2}}}$
則：$y=r-\sqrt{{r^2}-L_1^2}+{y_3}$
解得：$y=r-\sqrt{{r^2}-L_1^2}+\frac{{{L_1}{L_2}}}{{\sqrt{{r^2}-L_1^2}}}$
答：（1）電子進(jìn)入極板D₁、D₂間區(qū)域時(shí)速度的大小為$\frac{U}{Bd}$；
（2）電子的比荷的表達(dá)式為$\frac{2Ub}{{L}_{1}（{L}_{1}+2{L}_{2}）d{B}^{2}}$；
（3）P₃與P₁點(diǎn)的豎直間距y為$r-\sqrt{{r}^{2}-{L}_{1}^{2}}+\frac{{L}_{1}{L}_{2}}{\sqrt{{r}^{2}-{L}_{1}^{2}}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題是組合場(chǎng)問題：對(duì)速度選擇器，根據(jù)平衡條件研究；對(duì)于類平拋運(yùn)動(dòng)的處理，通常采用運(yùn)動(dòng)的分解法律：將運(yùn)動(dòng)分解成相互垂直的兩方向運(yùn)動(dòng)，將一個(gè)復(fù)雜的曲線運(yùn)動(dòng)分解成兩個(gè)簡(jiǎn)單的直線運(yùn)動(dòng)，并用牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式來求解．對(duì)于帶電粒子在磁場(chǎng)中的圓周運(yùn)動(dòng)，要正確畫出軌跡，運(yùn)用幾何知識(shí)進(jìn)行解題．