Question

如圖所示，間距為L=0.45m的帶電金屬板M、N豎直固定在絕緣平面上，板間形成勻強(qiáng)電場，場強(qiáng)E=1.5×10⁴V/m．N板接地（電勢為零），其中央有一小孔，一根水平絕緣細(xì)桿通過小孔，其左端固定在極板M上．現(xiàn)有一質(zhì)量m=0.05kg，帶電量q=+5.0×10^-6C的帶正電小環(huán)套在細(xì)桿上，小環(huán)與細(xì)桿之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ=0.1．小環(huán)以一定的初速度對準(zhǔn)小孔向左運(yùn)動(dòng)，若小環(huán)與金屬板M發(fā)生碰撞，碰撞中能量不損失（即碰后瞬間速度大小不變）．設(shè)帶電環(huán)大小不計(jì)且不影響金屬板間電場的分布（g取10m/s²）．求：
（1）帶電小環(huán)以多大的初速度v₀進(jìn)入電場，才能恰好到達(dá)金屬板M？
（2）若帶電小環(huán)以初速度v₁=1m/s進(jìn)入電場，當(dāng)其動(dòng)能等于電勢能時(shí)，距離N板多遠(yuǎn)？
（3）小環(huán)至少以多大的初速度v₂進(jìn)入電場，它在電場中運(yùn)動(dòng)時(shí)找不到動(dòng)能與電勢能相等的點(diǎn)？

Answer 1

分析：（1）小環(huán)進(jìn)入電場后，在電場力與摩擦力共同作用下減速直到M板，速度變?yōu)榱�，根�?jù)動(dòng)能定理即可求得初速度；
（2）帶電小環(huán)以初速度v₁=1m/s進(jìn)入電場后先向左作減速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其動(dòng)能等于電勢能時(shí)，設(shè)它距離N板為x，根據(jù)動(dòng)能定理即可求得x，還有一種情況，當(dāng)小環(huán)運(yùn)動(dòng)到左邊最遠(yuǎn)點(diǎn)并向右返回到小孔的過程中，也可能會(huì)出現(xiàn)動(dòng)能等于電勢能．設(shè)它向左運(yùn)動(dòng)的最遠(yuǎn)距離為d，根據(jù)動(dòng)能定理即可求解；
（3）小環(huán)以初速度v₂進(jìn)入電場后，若它運(yùn)動(dòng)到M板時(shí)的動(dòng)能大于其電勢能，則它在電場中運(yùn)動(dòng)時(shí)找不到動(dòng)能與電勢能相等的點(diǎn)．

解答：解：（1）小環(huán)進(jìn)入電場后，在電場力與摩擦力共同作用下減速直到M板，速度變?yōu)榱�，根�?jù)動(dòng)能定理，有-qEL-μmgL=0-

1

2

mv02
得v0=

2(qE+μmg)L m

=

2(5.0×10-6×1.5×104+0.1×0.05×10)×0.45 0.05

m/s=1.5m/s
（2）帶電小環(huán)以初速度v₁=1m/s進(jìn)入電場后先向左作減速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其動(dòng)能等于電勢能時(shí)，設(shè)它距離N板為x，有

1

2

mv02-qEx-μmgx=qEx
解得x=

mv02

4qE+2μmg

=

0.05×12

4×5.0×10-6×1.5×104+2×0.1×0.05×10

m=0.125m
還有一種情況，當(dāng)小環(huán)運(yùn)動(dòng)到左邊最遠(yuǎn)點(diǎn)并向右返回到小孔的過程中，也可能會(huì)出現(xiàn)動(dòng)能等于電勢能．設(shè)它向左運(yùn)動(dòng)的最遠(yuǎn)距離為d，根據(jù)動(dòng)能定理，有-qEd-μmgd=0-

1

2

mv12
解得d=

mv12

2(qE+μmg)

=

0.05×12

2×(5.0×10-6×1.5×104+0.1×0.05×10)

m=0.2m
當(dāng)其動(dòng)能等于電勢能時(shí)，設(shè)它距離N板為y，有qE（d-y）-μmg（d-y）=qEy
解得y=

(qE-μmg)d

2qE-μmg

=

(5.0×10-6×1.5×104-0.1×0.05×10)×0.2

2×5.0×10-6×1.5×104-0.1×0.05×10

m=0.05m
（3）小環(huán)以初速度v₂進(jìn)入電場后，若它運(yùn)動(dòng)到M板時(shí)的動(dòng)能大于其電勢能，則它在電場中運(yùn)動(dòng)時(shí)找不到動(dòng)能與電勢能相等的點(diǎn)，有

1

2

mv22-(qE+μmg)L＞qEL
得

v2＞ 2(2qE+μmg)L m = 2(2×5.0×10-6×1.5×104+0.1×0.05×10)×0.45 0.05 /s= 3.6 m/s ≈1.9m/s

答：（1）帶電小環(huán)以初速度1.5m/s進(jìn)入電場，才能恰好到達(dá)金屬板M；
（2）若帶電小環(huán)以初速度v₁=1m/s進(jìn)入電場，當(dāng)其動(dòng)能等于電勢能時(shí)，距離N板的距離為0.125m或0.05m；
（3）小環(huán)至少以1.9m/s的初速度進(jìn)入電場，它在電場中運(yùn)動(dòng)時(shí)找不到動(dòng)能與電勢能相等的點(diǎn)．

點(diǎn)評：本題主要考查了動(dòng)能定理在帶電離子電場中運(yùn)動(dòng)的應(yīng)用，要求同學(xué)們能選取適當(dāng)?shù)倪^程運(yùn)用動(dòng)能定理解題，難度適中．