Question

有一個擺長為l的擺（擺球可視為質(zhì)點(diǎn)，擺線的質(zhì)量不計(jì)），在過懸掛點(diǎn)的豎直線上距懸掛點(diǎn)O的距離為x處（x＜l）的C點(diǎn)有一固定的釘子，如圖所示，當(dāng)擺擺動時，擺線會受到釘子的阻擋．當(dāng)l一定而x取不同值時，阻擋后擺球的運(yùn)動情況將不同．現(xiàn)將擺拉到位于豎直線的左方（擺球的高度不超過O點(diǎn)），然后放手，令其自由擺動，如果擺線被釘子阻擋后，擺球恰巧能夠擊中釘子，試求x的最小值．

Answer 1

擺線受阻后在一段時間內(nèi)擺球作圓周運(yùn)動，若擺球的質(zhì)量為，則擺球受重力和擺線拉力的作用，設(shè)在這段時間內(nèi)任一時刻的速度為，如圖預(yù)解20-5所示。用表示此時擺線與重力方向之間的夾角，則有方程式

                    （1）

運(yùn)動過程中機(jī)械能守恒，令表示擺線在起始位置時與豎直方向的夾角，取點(diǎn)為勢能零點(diǎn)，則有關(guān)系

        （2）

擺受阻后，如果后來擺球能擊中釘子，則必定在某位置時擺線開始松弛，此時＝0，此后擺球僅在重力作用下作斜拋運(yùn)動。設(shè)在該位置時擺球速度，擺線與豎直線的夾角，由式（1）得

    ，                                   （3）

代入（2）式，求出

                             （4）

要求作斜拋運(yùn)動的擺球擊中點(diǎn)，則應(yīng)滿足下列關(guān)系式：

，                               （5）

                                        （6）

利用式（5）和式（6）消去，得到

                                                 （7）

由式（3）、（7）得到

                                                        （8）

代入式（4），求出

                       （9）

越大，越小，越小，最大值為，由此可求得的最小值：

，

所以

                         （10）

評分標(biāo)準(zhǔn)：本題20分。

式（1）1分，式（2）3分，式（3）2分，式（5）、（6）各3分，式（8）3分，式（9）1分，式（10）4分。