Question

有人提出了一種不用火箭發(fā)射人造地球衛(wèi)星的設(shè)想．其設(shè)想如下：沿地球的一條弦挖一通道，如圖所示．在通道的兩個(gè)出口處和，分別將質(zhì)量為的物體和質(zhì)量為的待發(fā)射衛(wèi)星同時(shí)自由釋放，只要比足夠大，碰撞后，質(zhì)量為的物體，即待發(fā)射的衛(wèi)星就會(huì)從通道口沖出通道；設(shè)待發(fā)衛(wèi)星上有一種裝置，在待發(fā)衛(wèi)星剛離開出口時(shí)，立即把待發(fā)衛(wèi)星的速度方向變?yōu)檠卦撎幍厍蚯芯�的方向，但不改變速度的大�。�這樣待發(fā)衛(wèi)星便有可能繞地心運(yùn)動(dòng)，成為一個(gè)人造衛(wèi)星．若人造衛(wèi)星正好沿地球表面繞地心做圓周運(yùn)動(dòng)，則地心到該通道的距離為多少？己知＝20，地球半徑＝6400 km．假定地球是質(zhì)量均勻分布的球體，通道是光滑的，兩物體間的碰撞是彈性的．

Answer 1

位于通道內(nèi)、質(zhì)量為的物體距地心為時(shí)（見圖復(fù)解20-3），它受到地球的引力可以表示為

                    ，                                （1）

式中是以地心為球心、以為半徑的球體所對應(yīng)的那部分地球的質(zhì)量，若以表示地球的密度，此質(zhì)量可以表示為

                                                        （2）

于是，質(zhì)量為的物體所受地球的引力可以改寫為

                                     （3）

作用于質(zhì)量為的物體的引力在通道方向的分力的大小為

                                        （4）

                                          （5）

為與通道的中垂線間的夾角，為物體位置到通道中

點(diǎn)的距離，力的方向指向通道的中點(diǎn)。在地面上物體的重力可以表示為

                                                       （6）

式中是地球的質(zhì)量。由上式可以得到

                                                      （7）

由以上各式可以求得

                                                     （8）

可見，與彈簧的彈力有同樣的性質(zhì)，相應(yīng)的“勁度系數(shù)”為

                                                           （9）

物體將以為平衡位置作簡諧振動(dòng)，振動(dòng)周期為。取處為“彈性勢能”的零點(diǎn)，設(shè)位于通道出口處的質(zhì)量為的靜止物體到達(dá)處的速度為，則根據(jù)能量守恒，有

                                               （10）

式中表示地心到通道的距離。解以上有關(guān)各式，得

                                                     （11）

可見，到達(dá)通道中點(diǎn)的速度與物體的質(zhì)量無關(guān)。

設(shè)想讓質(zhì)量為的物體靜止于出口處，質(zhì)量為的物體靜止于出口處，現(xiàn)將它們同時(shí)釋放，因?yàn)樗鼈兊恼駝?dòng)周期相同，故它們將同時(shí)到達(dá)通道中點(diǎn)處，并發(fā)生彈性碰撞。碰撞前，兩物體速度的大小都是，方向相反，剛碰撞后，質(zhì)量為的物體的速度為，質(zhì)量為的物體的速度為，若規(guī)定速度方向由向為正，則有

                   ，                     （12）

                 （13）

解式（12）和式（13），得

                                                     （14）

質(zhì)量為的物體是待發(fā)射的衛(wèi)星，令它回到通道出口處時(shí)的速度為，則有

                  （15）

由式（14）、（15）、（16）和式（9）解得

                    （16）

的方向沿著通道。根據(jù)題意，衛(wèi)星上的裝置可使的方向改變成沿地球處的切線方向，如果的大小恰能使小衛(wèi)星繞地球作圓周運(yùn)動(dòng)，則有

                              （17）

由式（16）、（17）并注意到式（6），可以得到

                    （18）

已知m，則得

                         （19）

評分標(biāo)準(zhǔn)：本題20分。

求得式（11）給7分，求得式（16）給6分，式（17）2分，式（18）3分，式（19）2分。