Question

10．如圖所示，在xOy平面上的某圓形區(qū)域內(nèi)，存在一垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)大小為B．一電荷量為+q、質(zhì)量為m的帶電粒子，由原點(diǎn)O開始沿x正方向運(yùn)動(dòng)，進(jìn)入該磁場區(qū)域后又射出該磁場．后來，粒子經(jīng)過y軸上的P點(diǎn)，此時(shí)速度方向與y軸的夾角為30°，已知P到O的距離為L，不計(jì)重力的影響．
（1）若磁場區(qū)域的大小可根據(jù)需要而改變，試求粒子速度的最大可能值；
（2）若粒子速度大小為v=$\frac{qBL}{6m}$，試求該圓形磁場區(qū)域的最小面積．

Answer 1

分析 初、末速度所在直線必定與粒子的軌跡圓相切，軌跡圓圓心到兩條直線的距離（即軌道半徑）相等，因此，圓心必位于初、末速度延長線形成的角平分線QC上（如圖甲）；在角平分線QC上取不同的點(diǎn)為圓心，由小到大作出一系列軌跡圓（如圖乙），其中以C點(diǎn)為圓心軌跡①是可能的軌跡圓中半徑最大的，其對(duì)應(yīng)的粒子速度也最大；

解答 解：（1）過P點(diǎn)作末速度所在直線，交x軸與Q點(diǎn)，經(jīng)分析可知，粒子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的軌跡的圓心必在∠OPQ的角平分線QC上，如圖甲所示，

設(shè)粒子在磁場中作勻速圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑為r，則由牛頓第二定律有
$qvB=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{r}$
則$r=\frac{mv}{qB}$…①
由此可知粒子速度越大，其軌道半徑越大，由圖乙可知，速度最大的粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)軌跡的圓心是y軸上的C點(diǎn)．如圖丙所示，

速度最大時(shí)粒子的軌跡圓過O點(diǎn)，且與PQ相切與A點(diǎn)．
由幾何關(guān)系有OQ=Ltan30°          ${r}_{1}^{\;}=OQtan30°$
可得${r}_{1}^{\;}=\frac{L}{3}$…②
由①②求得：$v=\frac{qBL}{3m}$
（2）將$v=\frac{qBL}{6m}$代入①式，可得${r}_{2}^{\;}=\frac{L}{6}$，粒子運(yùn)動(dòng)軌跡是如圖丁所示的軌跡圓②，

該軌跡圓與x軸相切于D點(diǎn)，與PQ相切于E點(diǎn)，連接DE，由幾何關(guān)系可知：
$DE=\sqrt{3}{r}_{2}^{\;}$
由于D、E點(diǎn)必在磁場內(nèi)，故可知磁場面積最小時(shí)必定是以DE為直徑（如圖丁中③所示），即面積最小的磁場半徑為：
$R=\frac{1}{2}DE$
則磁場的最小面積為：$s=π{R}_{\;}^{2}=π（\frac{\sqrt{3}}{12}L）_{\;}^{2}=\frac{π{L}_{\;}^{2}}{48}$
答：（1）若磁場區(qū)域的大小可根據(jù)需要而改變，粒子速度的最大可能值$\frac{qBL}{3m}$；
（2）若粒子速度大小為v=$\frac{qBL}{6m}$，該圓形磁場區(qū)域的最小面積$\frac{π{L}_{\;}^{2}}{48}$

點(diǎn)評(píng) 本題考查了帶電粒子在磁場中的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，對(duì)數(shù)學(xué)的幾何能力要求較高，關(guān)鍵畫出粒子的軌跡圖，結(jié)合牛頓第二定律以及向心力等知識(shí)進(jìn)行求解．