Question

5．如圖所示，半徑為R的豎直光滑半圓軌道BC與水平軌道AB相切于B，AB長s_AB=1m，離水平地面h=1.6m．一質量m=2kg的滑塊，以速度v₀=4m/s從A點向右運動，經(jīng)B點滑上半圓軌道．已知滑塊與AB間的動摩擦因數(shù)μ=0.2，取g=10m/s²．
（1）求滑塊在平臺上從A到B的運動時間t（結果可保留根式）；
（2）若滑塊能沿圓軌道運動而不脫離圓軌道，求R應滿足的條件；
（3）若R=0.9m，求滑塊在地面上的落點到平臺左側的水平距離x．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)牛頓第二定律，結合位移時間公式求出滑塊在平臺A到B的時間．
（2）滑塊不脫離圓軌道，有兩種情況，一種情況是通過最高點，一種情況滑動半圓弧一半高度不再上滑，結合臨界條件，運用動能定理求出半徑的臨界值，從而得出半徑的范圍．
（3）若R=0.9m，滑塊從圓軌道返回，由動能定理得出返回A點的速度，根據(jù)平拋運動的規(guī)律求出水平位移．

解答 解：（1）由運動學公式有：${s}_{AB}={v}_{0}t-\frac{1}{2}a{t}^{2}$，
由牛頓第二定律得：μmg=ma，
聯(lián)立代入數(shù)據(jù)解得：t=$（2-\sqrt{3}）s$．
（2）①若滑塊恰好運動到半圓軌道的最高點，有：mg=$m\frac{{{v}_{1}}^{2}}{R}$，
由動能定理得：$-μmg{s}_{AB}-2mgR=\frac{1}{2}m{{v}_{1}}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}$，
代入數(shù)據(jù)解得：R=0.24m．
②若滑塊恰好滑到半圓弧一半高度時不再上滑，有：$-μmg{s}_{AB}-mgR=0-\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}$，
代入數(shù)據(jù)解得：R=0.6m．
綜上所述，R應滿足：R≤0.24m或R≥0.6m．
（3）R=0.9m＞0.6m，滑塊從圓軌道返回，由動能定理得，
$-2μmg{s}_{AB}=\frac{1}{2}m{{v}_{2}}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}$，
代入數(shù)據(jù)解得：${v}_{2}=2\sqrt{2}m/s$，
滑塊從A點水平拋出，有：x=v₂t₁，h=$\frac{1}{2}g{{t}_{1}}^{2}$，
代入數(shù)據(jù)解得：x=1.6m．
答：（1）滑塊在平臺上從A到B的運動時間t為（2-$\sqrt{3}$）s；
（2）若滑塊能沿圓軌道運動而不脫離圓軌道，R應滿足的條件為R≤0.24m或R≥0.6m．；
（3）若R=0.9m，滑塊在地面上的落點到平臺左側的水平距離x為1.6m．

點評 本題考查了動能定理與圓周運動和平拋運動的綜合，知道平拋運動在水平方向和豎直方向上的運動規(guī)律以及圓周運動向心力的來源是解題的關鍵．