Question

4．某同學(xué)利用電磁學(xué)知識自主設(shè)計了一款小玩具，該玩具簡易模型圖如圖1所示，水平U形軌道，cd垂直于ae，在軌道左側(cè)abcd區(qū)域存在豎直向上的勻強磁場，磁感應(yīng)強度B隨時間變化如圖2所示，軌道右側(cè)區(qū)域cdef存在電磁彈射系統(tǒng)，當(dāng)導(dǎo)體棒開始運動時，該系統(tǒng)自動開啟，它能給導(dǎo)體棒提供水平向右大小恒為F=0.4N的推力，在軌道右側(cè)固定一個$\frac{1}{4}$圓柱形擋板，圓柱半徑R=0.1m，圓柱的中心軸線與ef重合，且圓柱形擋板最高點與軌道等高．現(xiàn)有一導(dǎo)體棒靜止放在軌道cd位置，已知距離ac=0.1m，cd=0.2m，ce=0.5m，導(dǎo)體棒的質(zhì)量m=0.1kg，電阻R₀=0.1Ω，與水平軌道間動摩擦因素大小μ=0.2（設(shè)最大靜摩擦力等于滑動摩擦力），軌道電阻忽略不計，在整個運動過程中導(dǎo)體棒終保持水平，g取10m/s²．求：

（1）t=0時刻起經(jīng)過多少時間導(dǎo)體棒開始運動；
（2）為使導(dǎo)體能夠到達ef，電磁彈射系統(tǒng)至少需要開啟多少時間；
（3）通過改變電磁彈射系統(tǒng)所提供的水平推力及開啟時間，可使導(dǎo)體棒擊中擋板的不同位置，求擊中擋板時導(dǎo)體棒動能的最小值．

Answer 1

分析 （1）由電磁感應(yīng)定律和歐姆定律求解電流強度，根據(jù)共點力的平衡條件和安培力的計算公式求解；
（2）根據(jù)動能定理、位移時間關(guān)系和牛頓第二定律列方程聯(lián)立求解；
（3）在水平方向和豎直方向根據(jù)平拋運動的規(guī)律列方程，再由機械能守恒得到動能的表達式，由數(shù)學(xué)知識求解最小值．

解答 解：（1）由電磁感應(yīng)定律得：E=$n\frac{△Φ}{△t}=\frac{△BS}{△t}=0.02V$，
由歐姆定律得：$I=\frac{E}{R_0}=0.2A$
要運動最少滿足：F_安=BIL=μmg
由圖可得：$B=\frac{△B}{△t}t$
解得：t=5s
（2）由動能定理得：Fx-μmgce=△E_k=0，
由運動學(xué)公式得：$x=\frac{1}{2}a{t^2}$
由牛頓第二定律得：$a=\frac{F-f}{m}=2m/{s^2}$
解得：t=0.5s；
（3）設(shè)小物塊擊中擋板的任意點坐標為（x，y），則
水平方向：x=v₀t
豎直方向：$y=\frac{1}{2}g{t^2}$
由機械能守恒得：${E_k}=\frac{1}{2}mv_0^2+mgy$
由于：x²+y²=R²
化簡得：${E_k}=\frac{1}{4}mg\frac{R^2}{y}+\frac{3}{4}mgy$
由數(shù)學(xué)不等式得：$\frac{1}{4}mg\frac{{R}^{2}}{y}=\frac{3}{4}mgy$，
即當(dāng)$y=\frac{{\sqrt{3}}}{3}R$ 時E_k最小
求得：${E_k}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}mgR=\frac{{\sqrt{3}}}{20}J$．
答：（1）t=0時刻起經(jīng)過5s導(dǎo)體棒開始運動；
（2）為使導(dǎo)體能夠到達ef，電磁彈射系統(tǒng)至少需要開啟0.5s；
（3）通過改變電磁彈射系統(tǒng)所提供的水平推力及開啟時間，可使導(dǎo)體棒擊中擋板的不同位置，擊中擋板時導(dǎo)體棒動能的最小值為$\frac{\sqrt{3}}{20}J$．

點評 對于電磁感應(yīng)問題研究思路常常有兩條：一條從力的角度，重點是分析安培力作用下導(dǎo)體棒的平衡問題，根據(jù)平衡條件列出方程；另一條是能量，分析涉及電磁感應(yīng)現(xiàn)象中的能量轉(zhuǎn)化問題，根據(jù)動能定理、功能關(guān)系等列方程求解．