Question

7．如圖，一半徑為R、粗糙程度處處相同的半圓形軌道豎直固定放置，直徑POQ水平．一質(zhì)量為m的質(zhì)點自P點上方高度R處由靜止開始下落，恰好從P點進入軌道．質(zhì)點滑到軌道最低點N時，對軌道的壓力為4mg，g為重力加速度的大�。�用W表示質(zhì)點從P點運動到N點的過程中克服摩擦力所做的功．則（　�。�

• A． W=$\frac{1}{2}$mgR，質(zhì)點到達Q點后，繼續(xù)上升一段距離
• B． W=$\frac{1}{2}$mgR，質(zhì)點恰好能到達Q點
• C． 質(zhì)點再次經(jīng)過N點時，對N點壓力大于2mg
• D． 要使質(zhì)點能到達Q點上方R處，應(yīng)在P點上方2R處釋放質(zhì)點

Answer 1

分析 根據(jù)動能定理得到物體速度關(guān)系，進而得到摩擦力大小關(guān)系，從而得到不同運動階段摩擦力做功情況，進而由動能定理、牛頓定律求解．

解答 解：AB、質(zhì)點滑到軌道最低點N時，對軌道的壓力為4mg，故由牛頓第二定律可得：$4mg-mg=\frac{m{{v}_{N1}}^{2}}{R}$
解得：${v}_{N1}=\sqrt{3gR}$；
那么對質(zhì)點從靜止下落到N的過程應(yīng)用動能定理可得：$W=2mgR-\frac{1}{2}m{{v}_{N1}}^{2}=\frac{1}{2}mgR$；
由于摩擦力做負功，故質(zhì)點在半圓軌道上相同高度時在NQ上的速度小于在PN上的速度，所以，質(zhì)點對軌道的壓力也較小，那么，摩擦力也較小，所以，質(zhì)點從N到Q克服摩擦力做的功W₁＜W，所以，質(zhì)點在Q的動能大于零，即質(zhì)點到達Q點后，繼續(xù)上升一段距離，故A正確，B錯誤；
C、由于摩擦力做負功，故質(zhì)點在QN上運動，在同一位置時下滑速度小于上滑速度，所以，質(zhì)點對軌道的壓力也較小，那么，摩擦力也較小，所以，質(zhì)點從Q到N克服摩擦力做的功W₂＜W₁＜W；所以，質(zhì)點從靜止到再次經(jīng)過N點，克服摩擦力做功為：$W+{W}_{1}+{W}_{2}＜3W=\frac{3}{2}mgR$
故由動能定理可得：$\frac{1}{2}m{{v}_{N2}}^{2}＞2mgR-3W=\frac{1}{2}mgR$；
所以，由牛頓第二定律可得質(zhì)點受到的支持力為：${F}_{N}=mg+\frac{m{{v}_{N2}}^{2}}{R}＞2mg$，故由牛頓第三定律可得：質(zhì)點再次經(jīng)過N點時，對N點壓力大于2mg，故C正確；
D、要使質(zhì)點能到達Q點上方R處，設(shè)在P點上方h處釋放質(zhì)點，那么由動能定理可得：mg（h-R）-W-W₁=0，所以，h＜2R，故D錯誤；
故選：AC．

點評 經(jīng)典力學問題一般先對物體進行受力分析，求得合外力及運動過程做功情況，然后根據(jù)牛頓定律、動能定理及幾何關(guān)系求解．