Question

2．如圖所示是某公司設(shè)計(jì)的“2009”玩具軌道，是用透明的薄壁圓管彎成的豎直軌道，其中引入管道AB及“200”管道是粗糙的，AB是與“2009”管道平滑連接的豎直放置的半徑為R=0.4m的$\frac{1}{4}$圓管軌道，已知AB圓管軌道半徑與“0”字型圓形軌道半徑相同．“9”管道是由半徑為2R的光滑$\frac{1}{4}$圓弧和半徑為R的光滑$\frac{3}{4}$圓弧以及兩段光滑的水平管道、一段光滑的豎直管道組成，“200”管道和“9”管道兩者間有一小縫隙P，現(xiàn)讓質(zhì)量m=0.5kg的閃光小球（可視為質(zhì)點(diǎn)）從距A點(diǎn)高H=2.4m處自由下落，并由A點(diǎn)進(jìn)入軌道AB，已知小球到達(dá)縫隙P時(shí)的速率為v=8m/s，g取10m/s²．求：
（1）小球通過(guò)粗糙管道過(guò)程中克服摩擦阻力做的功；
（2）小球通過(guò)“9”管道的最高點(diǎn)M時(shí)對(duì)軌道的作用力；
（3）小球從C點(diǎn)離開(kāi)“9”管道之后做平拋運(yùn)動(dòng)的水平位移．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)動(dòng)能定理求得摩擦力做的功即可得到克服摩擦力做的功；
（2）通過(guò)“9”管道中運(yùn)動(dòng)機(jī)械能守恒求得在M點(diǎn)的速度，即可由牛頓第二定律求得支持力，然后由牛頓第三定律求得對(duì)軌道的作用力；
（3）通過(guò)“9”管道中運(yùn)動(dòng)機(jī)械能守恒求得在C點(diǎn)的速度，然后根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)位移公式求解．

解答 解：（1）小球由靜止到P的運(yùn)動(dòng)過(guò)程只有重力、摩擦阻力做功，故由動(dòng)能定理可得：$mg（H+3R）+{W}_{f}=\frac{1}{2}m{v}^{2}$
解得：${W}_{f}=\frac{1}{2}m{v}^{2}-mg（H+3R）=-2J$，$\frac{1}{2}m{v}^{2}=16J$；
故小球通過(guò)粗糙管道過(guò)程中克服摩擦阻力做的功為2J；
（2）小球在“9”管道中運(yùn)動(dòng)只有重力做功，故機(jī)械能守恒，所以有$\frac{1}{2}m{v}^{2}=4mgR+\frac{1}{2}m{{v}_{M}}^{2}$；
那么，對(duì)小球在M點(diǎn)應(yīng)用牛頓第二定律可得：${F}_{N}+mg=\frac{m{{v}_{M}}^{2}}{R}=\frac{m{v}^{2}-8mgR}{R}=40N$，方向豎直向下；
故由牛頓第三定律可知：小球通過(guò)“9”管道的最高點(diǎn)M時(shí)對(duì)軌道的作用力為40N，方向豎直向上；
（3）小球在“9”管道中運(yùn)動(dòng)只有重力做功，故機(jī)械能守恒，所以有$\frac{1}{2}m{v}^{2}=2mgR+\frac{1}{2}m{{v}_{C}}^{2}$
解得：${v}_{C}=4\sqrt{3}m/s$；
然后根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)位移公式可得：
豎直位移為：$2R=\frac{1}{2}g{t}^{2}$，
水平位移為：$x={v}_{C}t={v}_{C}\sqrt{\frac{4R}{g}}=1.6\sqrt{3}m≈2.77m$；
答：（1）小球通過(guò)粗糙管道過(guò)程中克服摩擦阻力做的功為2J；
（2）小球通過(guò)“9”管道的最高點(diǎn)M時(shí)對(duì)軌道的作用力為40N，方向豎直向上；
（3）小球從C點(diǎn)離開(kāi)“9”管道之后做平拋運(yùn)動(dòng)的水平位移為2.77m．

點(diǎn)評(píng) 經(jīng)典力學(xué)問(wèn)題一般先對(duì)物體進(jìn)行受力分析，求得合外力及運(yùn)動(dòng)過(guò)程做功情況，然后根據(jù)牛頓定律、動(dòng)能定理及幾何關(guān)系求解．