Question

9．如圖所示，一絕緣細(xì)圓環(huán)半徑為R，其環(huán)面固定在豎直平面上，環(huán)面所在的空間存在水平正交的勻強(qiáng)電場和勻強(qiáng)磁場，方向如圖所示，電場強(qiáng)度大小為E，環(huán)上穿有一質(zhì)量為m的帶負(fù)電小球，可沿圓環(huán)做無摩擦運(yùn)動(dòng)．若小球由A點(diǎn)（圖中AO為圓環(huán)的水平半徑）靜止釋放，小球運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)的另一側(cè)C點(diǎn)時(shí)速度為零，已知OC連線與豎直方向的夾角為30°．試求：
（1）小球電荷量q；
（2）小球運(yùn)動(dòng)過程中的最大動(dòng)能E_A；
（3）若小球由D點(diǎn)靜止滑下到達(dá)A點(diǎn)時(shí)，圓環(huán)對(duì)小球的彈力大小恰好為（3+$\sqrt{3}$）mg，則磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小為多少？

Answer 1

分析 （1）對(duì)從A到C過程根據(jù)動(dòng)能定理列式求解即可；
（2）將重力和電場力合成，當(dāng)作等效重力，由于洛倫茲力不做功，故在等效重力場的最低點(diǎn)動(dòng)能最大，即在AC圓弧的中點(diǎn)動(dòng)能最大，根據(jù)動(dòng)能定理列式求解即可；
（3）先根據(jù)動(dòng)能定理列式求解A點(diǎn)的速度，支持力和洛倫茲力的合力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律列式求解磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大�。�

解答 解：（1）小球由A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)，由動(dòng)能定理得：
mgRcos30°-qE（R+Rsin30°）=0
解得：q=$\frac{\sqrt{3}mg}{3E}$  ①
（2）設(shè)小球運(yùn)動(dòng)到與圓心O的連線與豎直方向的夾角為θ時(shí)，小球的動(dòng)能為最大，此時(shí)有：
mgsinθ=qEcosθ  ②
小球由A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到此點(diǎn)，由動(dòng)能定理，有：
mgRcosθ+qE（R-Rsinθ）=E_k  ③
聯(lián)立解得：
E_k=$\frac{2\sqrt{3}mgR}{3}$
（3）設(shè)小球從D點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)時(shí)的速度大小為v，由動(dòng)能定理，有：
mgR+qER=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$
在A點(diǎn)，對(duì)小球，由牛頓第二定律，有：
F-qE-qvB=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
聯(lián)立解得：
B=$\frac{3E}{\sqrt{2Rg（3+\sqrt{3}）}}$
答：（1）小球電荷量q為$\frac{\sqrt{3}mg}{3E}$；
（2）小球運(yùn)動(dòng)過程中的最大動(dòng)能E_A為$\frac{2\sqrt{3}mgR}{3}$；
（3）磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小為$\frac{3E}{\sqrt{2Rg（3+\sqrt{3}）}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題關(guān)鍵是明確球的受力情況、運(yùn)動(dòng)情況和能量轉(zhuǎn)化情況，根據(jù)牛頓第二定律、動(dòng)能定理并結(jié)合等效思想解題，不難．