Question

13．為了探測x星球，總質量為m₁的探測飛船載著登陸艙在以該星球中心為圓心的圓軌道上運動，軌道半徑為r₁，運動周期為T₁．隨后質量為m₂的登陸艙脫離飛船，變 軌到離星球更近的半徑為r₂的圓軌道上運動，則（　�。�

• A． x星球表面的重力加速度g₁=$\frac{{4{π^2}{r_1}}}{T_1^2}$
• B． x星球的質量M=$\frac{{4{π^2}r_1^3}}{GT_1^2}$
• C． 登陸艙在r₁與r₂軌道上運動時的速度大小之比$\frac{v_1}{v_2}=\sqrt{\frac{{{m_1}{r_2}}}{{{m_2}{r_1}}}}$
• D． 登陸艙在半徑為r₂軌道上做圓周運動的周期T₂=$\sqrt{\frac{r_2^3}{r_1^3}}{T_1}$

Answer 1

分析 研究飛船繞星球做勻速圓周運動，根據(jù)萬有引力提供向心力，列出等式求出中心體的質量．
研究登陸艙繞星球做勻速圓周運動，根據(jù)萬有引力提供向心力，列出等式表示出線速度和周期．再通過不同的軌道半徑進行比較

解答 解：A、B、研究飛船繞星球做勻速圓周運動，根據(jù)萬有引力提供向心力，列出等式：
G$\frac{M{m}_{1}}{{r}_{1}^{2}}$=m$\frac{4{π}^{2}{r}_{1}}{{T}_{1}^{2}}$
得出：M=$\frac{{4π}^{2}{r}_{1}^{3}}{G{T}_{1}^{2}}$，故B正確．
根據(jù)圓周運動知識，a=$\frac{4{π}^{2}{r}_{1}}{{T}_{1}^{2}}$只能表示在半徑為r₁的圓軌道上向心加速度，而不等于X星球表面的重力加速度，故A錯誤．
C、研究登陸艙繞星球做勻速圓周運動，根據(jù)萬有引力提供向心力有：
在半徑為r的圓軌道上運動：$\frac{GMm}{{r}^{2}}$=m$\frac{{v}^{2}}{r}$
得出：v=$\sqrt{\frac{GM}{r}}$，
表達式里M為中心體星球的質量，r為運動的軌道半徑．
所以登陸艙在r₁與r₂軌道上運動時的速度大小之比為$\sqrt{\frac{{r}_{2}}{{r}_{1}}}$，故C錯誤．
D、研究登陸艙繞星球做勻速圓周運動，根據(jù)萬有引力提供向心力，列出等式：
在半徑為r的圓軌道上運動：$\frac{GMm}{{r}^{2}}$=$\frac{m•4{π}^{2}r}{{T}^{2}}$
得出：T=2π$\sqrt{\frac{{r}^{3}}{GM}}$．
表達式里M為中心體星球的質量，R為運動的軌道半徑．所以登陸艙在r₁與r₂軌道上運動時的周期大小之比為：$\sqrt{\frac{{r}_{1}^{3}}{{r}_{2}^{3}}}$，所以T₂=$\sqrt{\frac{r_2^3}{r_1^3}}{T_1}$，故D正確．
故選：BD．

點評 求一個物理量之比，我們應該把這個物理量先用已知的物理量表示出來，再進行之比．
向心力的公式選取要根據(jù)題目提供的已知物理量或所求解的物理量選取應用．