Question

（2013?南通二模）如圖所示，一直立的輕質(zhì)薄空心圓管長為L，上下端口處各安放有一個質(zhì)量均為m的圓柱形物塊A、B，A、B緊貼管的內(nèi)壁，厚度不計．A、B與管內(nèi)壁間的最大靜摩擦力分別是f₁=mg、f₂=kmg （k＞1），且滑動摩擦力與最大靜摩擦力大小相等．管下方存在這樣一個區(qū)域：當(dāng)物塊A進(jìn)入該區(qū)域時受到一個豎直向上的恒力F，而B在該區(qū)域運(yùn)動時不受它的作用，PQ、MN是該區(qū)域上下水平邊界，高度差為H（H＜L）．現(xiàn)讓管的下端從距離上邊界PQ高H處由靜止釋放．
（1）若F=mg，求A到達(dá)上邊界PQ時的速度v_A和B到達(dá)下邊界MN時的速度v_B．
（2）為使A、B間無相對運(yùn)動，求F應(yīng)滿足的條件．
（3）若F=3mg，求物塊A到達(dá)下邊界MN時A、B間距離．

Answer 1

分析：（1）A從下落至到達(dá)上邊界過程中，只有重力做功，所以機(jī)械能守恒，因此可以對整體應(yīng)用機(jī)械能守恒來求整體的速度，也就等于A的速度．
而從整體到上邊界再到B落到下邊界過程中，對整體來說受到一個向上的恒力F，所以它的機(jī)械能不守恒，因此這個過程要用動能定理，一次來求的B的速度．
（2）若使A、B間無相對運(yùn)動，就是要讓A的加速度和整體的加速相等，據(jù)此列出兩個牛頓第二定律表達(dá)式，在結(jié)合A的最大靜摩擦力即可解出恒力F的范圍．
（3）這里涉及到多物體的運(yùn)動，一定要分析好各個物體的運(yùn)動，并且明確各物體的運(yùn)動關(guān)系，即其初位置，末位置之間的關(guān)系，這個考查的就是兩大基礎(chǔ)中的運(yùn)動分析．其實運(yùn)動和受力很多時候是分不開的，比如這里我們要分析物體的運(yùn)動，首先要受力分析，以此才能來確定其運(yùn)動情況．這就是牛頓第二定律應(yīng)用之一的：由受力確定運(yùn)動．另外一個是：由運(yùn)動確定受力．這一問的分析時這樣的：
從A到上邊界至A到下邊界這個過程中：對A來說，我們可以知道它和管相對滑動了，則它與管之間的摩擦力就等于滑動摩擦力，而題目告知滑動摩擦力與最大靜摩擦力大小相等，最大靜摩擦力又等于mg，所以滑動摩擦力等于mg．A還受重力，向上的恒力F=3mg，由牛頓第二定律可以求的其加速度，進(jìn)而確定其運(yùn)動情況．
由于管的質(zhì)量不計，在此過程中，A對管的摩擦力與B對管的摩擦力方向相反、大小均為mg，B受到管的摩擦力小于kmg，則B與圓管相對靜止．而對管和B這個整體來說，受到重力、A對管的摩擦力，且二力平衡，故管和B這個整體做勻速直線運(yùn)動．
然后計算A和管的運(yùn)動位移，就可以計算出物塊A到達(dá)下邊界MN時A、B間距離．

解答：解：（1）對A來說受到F=mg的恒力下，A相對管不會滑動，因為這個時候F和重力正好平衡，A受合力為零．
對整體從開始下落到上邊界PQ過程中，由機(jī)械能守恒定律有
2mgH=

1

2

(2m)vA2 
解得 vA=

2gH

對整體從開始下落到完全離開MN邊界的過程中，由動能定理有
  2mg(2H+L)-FH=

1

2

(2m)vB2
解得 vB=

g(3H+2L)

（2）設(shè)A、B與管不發(fā)生相對滑動時共同加速度為a，A與管的靜摩擦力為f_A，則有
對整體：2mg-F=2ma
對A：mg+f_A-F=ma
并且    f_A≤f₁
解得    F≤2mg
即F應(yīng)滿足：0≤F≤2mg
（3）當(dāng)F=3mg，可知A相對圓管向上滑動，設(shè)A的加速度為a₁，則
mg+f₁-F=ma₁
解得 a₁=-g 
與前階段自由落體H位移比較，A向下減速運(yùn)動位移H時，速度剛好減到零，此過程運(yùn)動的時間：t=

2H g

由于管的質(zhì)量不計，在此過程中，A對管的摩擦力與B對管的摩擦力方向相反、大小均為mg，B受到管的摩擦力小于kmg，則B與圓管相對靜止，受到重力、A對管的摩擦力二力平衡，以速度v_A作勻速直線運(yùn)動．物塊A到達(dá)下邊界MN時A、B間距離
△L=L-（v_At-H）
解得：△L=L-H
答：（1）A到達(dá)上邊界PQ時的速度：vA=

2gH

，B到達(dá)下邊界MN時的速度：vB=

g(3H+2L)

（2）為使A、B間無相對運(yùn)動F應(yīng)滿足：0≤F≤2mg
（3）物塊A到達(dá)下邊界MN時A、B間距離：△L=L-H

點(diǎn)評：本題難點(diǎn)在第三問上，難這是多物體的運(yùn)動，并且涉及相對運(yùn)動，如何來分析多物體的運(yùn)動呢？關(guān)鍵就是要明確這多個物體之間有什么樣的相互作用，其各自的于東情況是如何的，相互之間有什么樣的相對運(yùn)動等幾個方面去分析，尤其在其受力上，多物體的受力關(guān)系往往比較復(fù)雜需細(xì)心再細(xì)心．