Question

3．中國首個月球探測計劃“嫦娥工程”預計在2017年送機器人上月球，實地采樣送回地球，為載人登月及月球基地選址做準備．設想我國宇航員隨“嫦娥”號登月飛船繞月球飛行，飛船上備有以下實驗儀器：A．計時表一只，B．彈簧秤一把，C．已知質(zhì)量為m的物體一個，D．天平一只（附砝碼一盒）．在飛船貼近月球表面時可近似看成繞月球做勻速圓周運動，宇航員測量出飛船在靠近月球表面的圓形軌道繞行N圈所用的時間為t．飛船的登月艙在月球上著陸后，遙控機器人利用所攜帶的儀器又進行了第二次測量，科學家利用上述兩次測量數(shù)據(jù)便可計算出月球的半徑和質(zhì)量．若已知萬有引力常量為G，則：
（1）簡述機器人是如何通過第二次測量物體在月球所受的重力F
（2）試利用測量數(shù)據(jù)（用符號表示）求月球的質(zhì)量為$\frac{{F}^{3}{t}^{4}}{16{π}^{4}G{N}^{4}{m}^{3}}$，半徑為$\frac{F{t}^{2}}{4{π}^{2}{N}^{2}m}$．

Answer 1

分析 （1）機器人在月球上可以用彈簧秤豎直懸掛物體，靜止時秤出物體在月球所受的重力F．
（2）由F=mg_月，可求出月球表面的重力加速度g_月．在月球上忽略月球的自轉(zhuǎn)，物體在月球上的重力近似等于月球的萬有引力，列式得到月球質(zhì)量、半徑與重力加速度的關系；飛船在繞貼近月球運行時，其軌道半徑為月球的半徑R，由萬有引力提供物體做圓周運動的向心力，列式得到月球質(zhì)量、半徑與周期的關系式，聯(lián)立即可求解月球的半徑和質(zhì)量．

解答 解：（1）機器人在月球上用彈簧秤豎直懸掛物體，靜止時讀出彈簧秤的讀數(shù)F，即為物體在月球上所受重力的大�。�
（2）在月球上忽略月球的自轉(zhuǎn)可知：F=mg_月 ①G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$=mg_月  ②
飛船在繞月球運行時，因為是靠近月球表面，故近似認為其軌道半徑為月球的半徑R，由萬有引力提供物體做圓周運動的向心力，
則有：G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$=m$（\frac{2π}{T}）^{2}$R    ③T=$\frac{t}{N}$  ④
所以，由①、②、③、④式可知月球的半徑：R=$\frac{F{t}^{2}}{4{π}^{2}{N}^{2}m}$，月球的質(zhì)量：M=$\frac{{F}^{3}{t}^{4}}{16{π}^{4}G{N}^{4}{m}^{3}}$；
答：（1）機器人在月球上用彈簧秤豎直懸掛物體，靜止時讀出彈簧秤的讀數(shù)F，即為物體在月球上所受重力的大�。�
（2）月球的質(zhì)量：$\frac{{F}^{3}{t}^{4}}{16{π}^{4}G{N}^{4}{m}^{3}}$；月球的半徑：$\frac{F{t}^{2}}{4{π}^{2}{N}^{2}m}$．

點評 忽略自轉(zhuǎn)的情況下萬有引力等于物體所受的重力，這是經(jīng)常用的方法要注意掌握．對于天體運動，關鍵建立模型，根據(jù)萬有引力提供向心力列式方程，求解有關物理量．