Question

1．如圖所示，導(dǎo)體棒a兩端系有兩根足夠長的、質(zhì)量和電阻可忽略的柔軟導(dǎo)線，導(dǎo)線通過絕緣水平桌面上的輕質(zhì)小滑輪，穿過立柱P、Q底部的小孔，固定于桌面上的M、N兩點(diǎn)．導(dǎo)體棒b置于立柱P、Q左側(cè)，放置在導(dǎo)線上，與兩導(dǎo)線接觸良好．兩導(dǎo)體棒與桌邊緣平行，整個(gè)裝置處于水平向右、磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場中．已知兩根棒的質(zhì)量均為m，電阻均為R，長度均為L，棒b與導(dǎo)線間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ（μ＜1），其余各處均光滑，重力加速度為g．現(xiàn)同時(shí)松開M、N兩點(diǎn)，棒a由靜止開始向下運(yùn)動(dòng)．

（1）求棒a向下運(yùn)動(dòng)速度為v時(shí)，棒b中感應(yīng)電流的大小及方向；
（2）求棒a向下運(yùn)動(dòng)速度為v時(shí)，棒b所受安培力大小和摩擦力大小；
（3）求棒a在下落過程中的最大速度v_m；
（4）若將桌面以上空間的磁場方向改為水平向左，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小保持不變，桌面以下空間的磁場維持原狀，求立柱P、Q對棒b的彈力大小范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)飯店里的和閉合電路的歐姆定律求解通過b棒的感應(yīng)電流；根據(jù)左手定則判斷電流方向方向；
（2）根據(jù)安培力計(jì)算公式求解金屬棒b所受的安培力大小，由平衡條件和摩擦力計(jì)算公式求解金屬棒所受的摩擦力；
（3）畫出金屬棒a和兩根金屬線沿運(yùn)動(dòng)方向受力，根據(jù)牛頓第二定律結(jié)合共點(diǎn)力的平衡條件來分析；
（4）畫出a棒和兩根金屬線沿運(yùn)動(dòng)方向受力情況，分別對金屬棒b和a棒向下加速運(yùn)動(dòng)時(shí)，分析運(yùn)動(dòng)情況，由牛頓第二定律和共點(diǎn)力的平衡條件來求解．

解答 解：（1）當(dāng)金屬棒a以速度v向下運(yùn)動(dòng)時(shí)，產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢E=BLv，
通過b棒的感應(yīng)電流I=$\frac{E}{2R}$=$\frac{BLv}{2R}$；
方向由P指向Q；
（2）金屬棒b所受的安培力大小為F_b=BIL=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{2R}$；
金屬棒b受力分析如圖（a）所示，b棒處于平衡狀態(tài)，由平衡條件可得：

F_N=mg+F_b，
又F_f=μF_N，
金屬棒所受的摩擦力為F_f=μF_N=μ（mg+$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{2R}$）
（3）金屬棒a和兩根金屬線沿運(yùn)動(dòng)方向受力如圖（b），F(xiàn)_a為金屬棒a所受安培力，F(xiàn)′_f為b棒對金屬線的摩擦力，
根據(jù)牛頓第二定律可知F′_f=F_f=μ（mg+$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{2R}$）
F_a=F_b=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{2R}$；
a棒向下加速運(yùn)動(dòng)，由牛頓第二定律可得：mg-F_a-F′_f=ma，
即mg-$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{2R}$-$μ（mg+\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{m}}{2R}）$=ma，
金屬棒a做加速度逐漸減小的加速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)加速度為零時(shí)速度達(dá)到最大值v_m，
因此mg-$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{2R}$-$μ（mg+\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{m}}{2R}）$=0，
解得：v_m=$\frac{2（1-μ）mgR}{（1+μ）{B}^{2}{L}^{2}}$；
（4）桌面及其以上空間的勻強(qiáng)磁場，改為水平向左后，b棒受力如圖（c），a棒和兩根金屬線沿運(yùn)動(dòng)方向受力如圖（d）

金屬棒b：F_N1=mg-F_b、T=F_f1，
a棒向下運(yùn)動(dòng)時(shí)，立柱P、Q對棒的彈力T=F_f1=μF_N1=μ（mg-$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{2R}$）
當(dāng)開始運(yùn)動(dòng)時(shí)，彈力T有最大值T_max趨于μmg，
a棒向下加速運(yùn)動(dòng)，由牛頓第二定律可得：mg-F_a-F′_f=ma，
即mg-$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{2R}$-$μ（mg-\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{2R}）$=ma，
金屬棒a做加速度逐漸減小的加速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)加速度為零時(shí)速度達(dá)到最大值v′_m，彈力T有最小值，即：
因此mg-$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v{′}_{m}}{2R}$-$μ（mg-\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v′}_{m}}{2R}）$=0，
解得$v{′}_{m}=\frac{2mgR}{{B}^{2}{L}^{2}}$或μ=1（舍去）
代入的彈力最小值T_min=0，
因此立柱P、Q對金屬棒b的彈力大小范圍是（0，μmg）．
答：（1）棒a向下運(yùn)動(dòng)速度為v時(shí)，棒b中感應(yīng)電流的大小$\frac{BLv}{2R}$，方向由P指向Q；
（2）棒a向下運(yùn)動(dòng)速度為v時(shí)，棒b所受安培力大小為$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{2R}$，摩擦力大小為μ（mg+$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{2R}$）；
（3）棒a在下落過程中的最大速度為$\frac{2（1-μ）mgR}{（1+μ）{B}^{2}{L}^{2}}$；
（4）立柱P、Q對棒b的彈力大小范圍為（0，μmg）．

點(diǎn)評 對于電磁感應(yīng)問題研究思路常常有兩條：一條從力的角度，重點(diǎn)是分析安培力作用下導(dǎo)體棒的平衡問題，根據(jù)平衡條件列出方程；另一條是能量，分析涉及電磁感應(yīng)現(xiàn)象中的能量轉(zhuǎn)化問題，根據(jù)動(dòng)能定理、功能關(guān)系等列方程求解．