Question

12．如圖，兩根足夠長、間距L=1m的光滑平行導(dǎo)軌豎直固定．在垂直導(dǎo)軌的虛線a₁a₂下方有方向如圖、磁感應(yīng)強(qiáng)度B₀=0.5T的勻強(qiáng)磁場，垂直導(dǎo)軌的虛線b₁b₂上方有垂直紙面、磁感應(yīng)強(qiáng)度B=$\frac{20}{\sqrt{4+10x}}$T（x為離b₁b₂的距離）、沿水平方向均勻分布的磁場．現(xiàn)用豎直向上的力F拉質(zhì)量m=50g的細(xì)金屬桿c從b₁b₂以初速度v₀開始向上運動，c桿保持與導(dǎo)軌垂直．同時，釋放垂直導(dǎo)軌置于a₁a₂下質(zhì)量也為m=50g、電阻R=20Ω的細(xì)金屬桿d，d桿恰好靜止．其余電阻不計，兩桿與導(dǎo)軌接觸良好，g取10m/s²．
（1）求通過桿d的電流大小及b₁b₂以上區(qū)域磁場的方向；
（2）通過分析和計算，說明桿c做什么性質(zhì)的運動；
（3）以桿c從b₁b₂出發(fā)開始計時，求其所受作用力F的大小與時間t的關(guān)系式．

Answer 1

分析 （1）對桿d根據(jù)共點力的平衡條件求解電流強(qiáng)度，根據(jù)左手定則和右手定則判斷磁場方向；
（2）由切割磁感線電動勢公式和歐姆定律得到c桿上升的速度大小，再根據(jù)位移速度關(guān)系分析運動情況；
（3）桿c此時受拉力F、重力、安培力作用，由牛頓第二定律求解拉力F與位移的表達(dá)式，將位移代入F的表達(dá)式即可．

解答 解：（1）桿d受重力、安培力作用而平衡：B₀IL=mg     ①
得：I=$\frac{mg}{{B}_{0}L}=\frac{0.05×10}{0.5×1}A$=1A     ②
由桿d受到的安培力向上，用左手定則得到桿d中電流向左，由桿c電流方向向右，用右手定則得到磁場垂直紙面向外．          
（2）設(shè)桿c上升到離b₁b₂距離為x處、切割磁感線的速率為v，由切割磁感線電動勢公式和歐姆定律有：I=$\frac{BLv}{R}$         ③
故v=$\frac{IR}{BL}$=$\frac{1×20}{\frac{20}{\sqrt{4+10x}}×1}m/s=\sqrt{4+10x}m/s$
符合v=$\sqrt{{v}_{0}^{2}+2ax}$公式，所以桿c勻加速直線上升，且初速度v₀和加速度a的大小分別為：v₀=2m/s           ④
a=5m/s²           ⑤
（3）桿c此時受拉力F、重力、安培力作用，由牛頓第二定律有：F-mg-BIL=ma   ⑥
解得F=（0.75+$\frac{20}{\sqrt{4+10x}}$）N       ⑦
桿c從b₁b₂出發(fā)到此時位置的位移x=v₀t+$\frac{1}{2}a{t}^{2}$=（2t+2.5t²）m         ⑧
聯(lián)列⑦⑧得：F=（0.75+$\frac{20}{\sqrt{4+20t+25{t}^{2}}}$）N．
答：（1）通過桿d的電流大小為1A，b₁b₂以上區(qū)域磁場的方向垂直紙面向外；
（2）桿c勻加速直線上升；
（3）以桿c從b₁b₂出發(fā)開始計時，其所受作用力F的大小與時間t的關(guān)系式為F=（0.75+$\frac{20}{\sqrt{4+20t+25{t}^{2}}}$）N．

點評 對于電磁感應(yīng)問題研究思路常常有兩條：一條從力的角度，重點是分析安培力作用下導(dǎo)體棒的平衡問題，根據(jù)平衡條件列出方程；另一條是能量，分析涉及電磁感應(yīng)現(xiàn)象中的能量轉(zhuǎn)化問題，根據(jù)動能定理、功能關(guān)系等列方程求解．