Question

2．如圖所示，足夠長(zhǎng)的木板置于水平地面上，在t=0時(shí)刻將一相對(duì)于地面靜止的小物塊請(qǐng)放到木板的左端，現(xiàn)用水平向左拉力F作用在木板上．已知物塊與木板間及木板與地面間均有摩擦，最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力，小物塊質(zhì)量m=1kg，木板質(zhì)量M=4kg，物塊與木板間動(dòng)摩擦力因數(shù)μ₁=0.2，重力加速度g=10m/s²，求：
（1）假設(shè)地面光滑，當(dāng)水平向左拉力F從零開(kāi)始逐漸增大，求物塊、木板的加速度或加速度表達(dá)式；
（2）假設(shè)木板與地面間動(dòng)摩擦因數(shù)μ₂=0.36．若撤去力F，給木板水平向左的初速度v₀=7m/s，其他條件不變，求木板運(yùn)動(dòng)的最大距離．

Answer 1

分析 （1）先求出m的最大加速度，當(dāng)M的加速度達(dá)到m加速度時(shí)，剛好發(fā)生滑動(dòng)；
（2）由牛頓第二定律分別求出加速度，分別求出木板與木塊在拉力作用下的位移和撤去拉力后達(dá)到相同速度的位移，即可求得．

解答 解：（1）由題意可知，當(dāng)物塊的加速度大于木板的加速度時(shí)，二者發(fā)生相對(duì)運(yùn)動(dòng)，設(shè)恰好要發(fā)生相對(duì)運(yùn)動(dòng)時(shí) 的拉力為F₀，此時(shí)：${a}_{0}=\frac{{μ}_{1}mg}{m}={μ}_{1}g=0.2×10=2m/{s}^{2}$
對(duì)應(yīng)的拉力：F₀=（M+m）a₀=（4+1）×2=10N．
當(dāng)拉力小于等于10N時(shí)，二者的加速度相等，為：$a=\frac{F}{m+M}=\frac{1}{5}F$
當(dāng)F＞10N時(shí)，物塊受到的摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力，此時(shí)：${a}_{m}={μ}_{1}g=2m/{s}^{2}$
木板的加速度：${a}_{M}=\frac{F-{μ}_{1}mg}{M}=\frac{F}{M}-\frac{1}{2}$
（2）假設(shè)木板與地面間動(dòng)摩擦因數(shù)μ₂=0.36．若撤去力F，以木板為研究對(duì)象，據(jù)牛頓第二定律得：F-f₁-f₂=Ma，
由平衡條件得：N₁-N₂-Mg=0，
滑動(dòng)摩擦力：f₁=μ₁N₁，f₂=μ₂N₂
以物塊為研究對(duì)象：N₂=mg，
代入數(shù)據(jù)解得：a=5m/s²，方向水平向右
此時(shí)物塊受到的摩擦力仍然是滑動(dòng)摩擦力，則加速度：$a′={μ}_{1}g=2m/{s}^{2}$
設(shè)經(jīng)過(guò)時(shí)間t₁二者的速度相等，則：v_共=v₀-at₁=a′t₁
代入數(shù)據(jù)得：t₁=1s，v_共=2m/s
此過(guò)程中木板的位移：$x={v}_{0}{t}_{1}-\frac{1}{2}a{t}_{1}^{2}=7×1-\frac{1}{2}×5×{1}^{2}=4.5$m
假設(shè)速度相等后二者的加速度相等，則：${a}_{共}={μ}_{2}g=0.36×10=3.6m/{s}^{2}＞a′$，
即二者若一起運(yùn)動(dòng)，則二者共同的加速度大于物塊的最大加速度，所以假設(shè)不成立，二者仍然有相對(duì)運(yùn)動(dòng)．
木板的加速度：$a″=\frac{{f}_{2}-{f}_{1}}{M}$
代入數(shù)據(jù)得：a″=4m/s²，方向水平向右；
所以從二者速度相等都木板靜止的位移：$x′=\frac{{v}_{共}^{2}}{2a″}$
代入數(shù)據(jù)得：x′=0.5m
木板的總位移：L=x+x′=4.5+0.5=5m
答：（1）假設(shè)地面光滑，當(dāng)水平向左拉力F從零開(kāi)始逐漸增大時(shí)，①當(dāng)拉力小于等于10N時(shí)，二者的加速度相等，為：$a=\frac{1}{5}F$；
②當(dāng)F＞10N時(shí)，物塊受到的摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力，此時(shí)物塊的加速度：${a}_{m}=2m/{s}^{2}$，木板的加速度：${a}_{M}=\frac{F}{M}-\frac{1}{2}$；
（2）假設(shè)木板與地面間動(dòng)摩擦因數(shù)μ₂=0.36．若撤去力F，給木板水平向左的初速度v₀=7m/s，其他條件不變，木板運(yùn)動(dòng)的最大距離是5m．

點(diǎn)評(píng) 滑塊相對(duì)于木板的運(yùn)動(dòng)，在分別研究?jī)蓚�(gè)物體運(yùn)動(dòng)的基礎(chǔ)上，關(guān)鍵找到位移關(guān)系．求摩擦力時(shí)，要根據(jù)滑塊所處的狀態(tài)，選擇不同的規(guī)律進(jìn)行研究．