Question

2．如圖所示，足夠長的光滑平行金屬導(dǎo)軌豎直放置，間距為L，其上端連接有阻值為R的電阻，裝置區(qū)域有垂直于導(dǎo)軌平面的勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B．將一根水平金屬棒從導(dǎo)軌M處以初速度v₀向上拋出，經(jīng)過時間t到達(dá)最高點(diǎn)N后返回下落．已知金屬棒的質(zhì)量為m，電阻為r．金屬棒在運(yùn)動中始終與導(dǎo)軌良好接觸．忽略導(dǎo)軌電阻，重力加速度為g．求：
（1）金屬棒的最大加速度；
（2）下落過程中重力做功的最大功率；
（3）上升過程中電阻R消耗的電能．

Answer 1

分析 （1）金屬棒剛向上拋出時加速度最大．由牛頓第二定律結(jié)合安培力的計(jì)算公式求解最大加速度；
（2）下落中重力做功功率最大時，速度最大，由平衡條件求解最大速度，再根據(jù)功率與速度關(guān)系求解最大功率；
（3）上升過程中，由動量定理、能量守恒定律和能量分配關(guān)系求解電阻R消耗的電能．

解答 解：（1）經(jīng)分析知，金屬棒剛向上拋出時加速度最大．由牛頓第二定律
mg+F_安=ma_m                                 ①
F_安=BIL                                        ②
而$I=\frac{E}{R+r}$③
E=BLv                                         ④
整理得${a_m}=g+\frac{{{B^2}{L^2}{v_0}}}{m（R+r）}$⑤
（2）下落中重力做功功率最大時，速度最大，加速度為零． ⑥
由平衡條件知  $mg=\frac{{{B^2}{L^2}{v_m}}}{R+r}$⑦
整理得${v_m}=\frac{mg（R+r）}{{{B^2}{L^2}}}$⑧
重力最大功率為P_m=mgv_m⑨
整理得 ${P_m}=\frac{{{m^2}{g^2}（R+r）}}{{{B^2}{L^2}}}$⑩
（3）上升過程中，由動量定理$mgt+{\bar F_安}t=0-（-m{v_0}）$⑪
而 ${\bar F_安}=B\bar IL$⑫
$\overline{I}=\frac{\bar E}{R+r}$⑬
$\overline{E}=\frac{△φ}{△t}$⑭
△φ=Bx⑮
整理得 $x=\frac{{m（{v_0}-gt）（R+r）}}{{{B^2}{L^2}}}$⑯
對上升過程，由能量守恒可得回路中消耗的電能$Q=\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}-mgx$⑰
所以有：Q=$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}-\frac{{m}^{2}g（{v}_{0}-gt）（R+r）}{{B}^{2}{L}^{2}}$⑱
電阻R消耗的電能Q_R=$\frac{R}{R+r}Q$⑲
所以Q_R=$\frac{mR{v}_{0}^{2}}{2（R+r）}-\frac{{m}^{2}g（{v}_{0}-gt）R}{{B}^{2}{L}^{2}}$．
答：（1）金屬棒的最大加速度為$g+\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{0}}{m（R+r）}$；
（2）下落過程中重力做功的最大功率$\frac{{m}^{2}{g}^{2}（R+r）}{{B}^{2}{L}^{2}}$；
（3）上升過程中電阻R消耗的電能$\frac{mR{v}_{0}^{2}}{2（R+r）}-\frac{{m}^{2}g（{v}_{0}-gt）R}{{B}^{2}{L}^{2}}$．

點(diǎn)評 對于電磁感應(yīng)問題研究思路常常有兩條：一條從力的角度，重點(diǎn)是分析安培力作用下導(dǎo)體棒的平衡問題，根據(jù)平衡條件列出方程；另一條是能量，分析涉及電磁感應(yīng)現(xiàn)象中的能量轉(zhuǎn)化問題，根據(jù)動能定理、功能關(guān)系等列方程求解．