Question

3．如圖所示的水平軌道中，AC段中點(diǎn)B的正上方有一探測(cè)器，C處有一固定豎直擋板，物體P₁沿軌道向右以速度v₀與靜止在A點(diǎn)的物體P₂碰撞，結(jié)合成復(fù)合體P．以剛結(jié)合成復(fù)合體P后開(kāi)始計(jì)時(shí)，探測(cè)器只在t₁=2s至t₂=4s內(nèi)工作．已知P₁、P₂的質(zhì)量都為m=lkg，P與AC間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ=0.1，AB與BC段長(zhǎng)均為L(zhǎng)=4m．（P₁、P₂和P均可視為質(zhì)點(diǎn)，P與擋板的碰撞為彈性碰撞．）求：
（1）若v₀=6m/s，求P₁、P₂碰后瞬間P的速度大小v和碰撞前后系統(tǒng)損失的動(dòng)能△E_k；
（2）若P與擋板碰后，能在探測(cè)器的工作時(shí)間內(nèi)通過(guò)B點(diǎn)，求v₀的取值范 圍；
（3）若P₁和P₂結(jié)合成復(fù)合體P后，不能被探測(cè)器在工作時(shí)間內(nèi)探測(cè)到，求v₀的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）P₁、P₂碰撞過(guò)程，系統(tǒng)動(dòng)量守恒，列出等式求解P₁、P₂碰后瞬間的速度大小，根據(jù)能量守恒求得碰撞損失的動(dòng)能．
（2）（3）由于P與擋板的碰撞為彈性碰撞，所以P在AC間等效為勻減速運(yùn)動(dòng)，根據(jù)牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求解．．

解答 解：（1）P₁、P₂碰撞過(guò)程，動(dòng)量守恒，選取向右為正方向，設(shè)碰撞后共同速度為v，則：mv₀=2mv…①
解得v=$\frac{1}{2}{v}_{0}$…②
代入數(shù)據(jù)可得：v=3m/s
碰撞損失的動(dòng)能△E=$\frac{1}{2}$$m{v}_{0}^{2}$-$\frac{1}{2}$（2m）v²…③
解得△E=9J…④
（2）由于P與擋板的碰撞為彈性碰撞．故P在AC間等效為勻減速運(yùn)動(dòng)，設(shè)P在AC段加速度大小為a，由運(yùn)動(dòng)學(xué)規(guī)律，得：μ（2m）g=2ma
a=μg=0.1×10m/s²=1m/s²…⑤
P返回經(jīng)過(guò)B時(shí)：3L=vt-$\frac{1}{2}$at²…⑥
由①⑤⑥解得：v=$\frac{{t}^{2}+24}{2t}$
由于2s≤t≤4s，所以解得v的取值范圍5m/s≤v≤7m/s 
結(jié)合公式②可知，若P與擋板碰后，能在探測(cè)器的工作時(shí)間內(nèi)通過(guò)B點(diǎn)，v₀的取值范 圍是10m/s≤v₁≤14m/s．
（3）結(jié)合（2）的分析可知，若碰撞后的速度比較大，則P₁和P₂結(jié)合成復(fù)合體P后，不能被探測(cè)器在工作時(shí)間內(nèi)探測(cè)到，v₀的取值范圍應(yīng)滿足：
v₀＜5m/s或v₀＞7m/s
考慮到P有可能在向右運(yùn)動(dòng)經(jīng)過(guò)B點(diǎn)時(shí)被探測(cè)器探測(cè)到．
Ⅰ．設(shè)P恰好能到達(dá)B點(diǎn)，則：2aL=v²…⑦
所以：$v=2\sqrt{2}$m/s
則到達(dá)B的時(shí)間：$t′=\frac{△v}{a}=\frac{2\sqrt{2}}{1}=2\sqrt{2}$s，由于2s＜2$\sqrt{2}$s＜4s，結(jié)合運(yùn)動(dòng)的越快，相等時(shí)間內(nèi)的位移越大可知，若P的速度小于$2\sqrt{2}$m/s，探測(cè)器不可能探測(cè)到P；
結(jié)合公式②可知，此時(shí)v₀$＜4\sqrt{2}$m/s
Ⅱ．結(jié)合運(yùn)動(dòng)的越快，相等時(shí)間內(nèi)的位移越大可知，當(dāng)P向右在t=2s時(shí)刻通過(guò)探測(cè)器時(shí)：$\overline{v}=\frac{L}{t}=\frac{4}{2}=2$m/s…⑧
又：$\overline{v}=\frac{v+（v-at）}{2}$…⑨
所以得：v=3m/s
可知如果P的速度v＞3m/s，則P在2s前通過(guò)B點(diǎn)，探測(cè)器也不能探測(cè)到P，此時(shí)結(jié)合公式②可知：v₀＞6m/s．
綜上可知，若復(fù)合體P，不能被探測(cè)器在工作時(shí)間內(nèi)探測(cè)到，v₀的取值范圍：v₀$＜4\sqrt{2}$m/s或6m/s＜v₀＜10m/s或v₀＞14m/s
答：（1）若v₀=6m/s，P₁、P₂碰后瞬間的速度大小是3m/s，碰撞損失的動(dòng)能是9J；
（2）若P與擋板碰后，能在探測(cè)器的工作時(shí)間內(nèi)通過(guò)B點(diǎn)，v₀的取值范圍10m/s≤v₀≤14m/s；
（3）若復(fù)合體P，不能被探測(cè)器在工作時(shí)間內(nèi)探測(cè)到，v₀的取值范圍：v₀$＜4\sqrt{2}$m/s或  6m/s＜v₀＜10m/s或v₀＞14m/s．

點(diǎn)評(píng) 本題關(guān)鍵是明確P₁、P₂碰后的受力情況和運(yùn)動(dòng)情況，運(yùn)用動(dòng)量守恒定律結(jié)合能量守恒列出等式求解，掌握牛頓第二定律分析問(wèn)題．其次還要注意第三問(wèn)的幾種可能性．