Question

15．如圖1是用傳送帶傳送行李的示意圖．圖1中水平傳送帶AB間的長度為L=8m，它的右側(cè)是一豎直的半徑為R=0.8m的四分之一圓形光滑軌道，軌道底端與傳送帶在B點(diǎn)相切．若傳送帶向右以v₀=6m/s的恒定速度勻速運(yùn)動，當(dāng)在傳送帶的左側(cè)A點(diǎn)輕輕放上一個質(zhì)量為m=4kg的行李箱時，箱子運(yùn)動到傳送帶的最右側(cè)如果沒被撿起，能滑上圓形軌道，而后做往復(fù)運(yùn)動直到被撿起為止．已知箱子與傳送帶間的動摩擦因數(shù)為μ=0.1，重力加速度大小為g取10m/s²，求：
（1）箱子從A點(diǎn)到B點(diǎn)所用的時間及箱子滑到圓形軌道底端時對軌道的壓力大小；
（2）若行李箱放上A點(diǎn)時給它一個v_A=5m/s的水平向右的初速度，到達(dá)B點(diǎn)時如果沒被撿起，則箱子離開圓形軌道最高點(diǎn)后還能上升多大高度？在如圖2給定的坐標(biāo)系中定性畫出箱子從A點(diǎn)到最高點(diǎn)過程中速率v隨時間t變化的圖象．

Answer 1

分析 （1）物體在傳送帶先做勻加速運(yùn)動，根據(jù)牛頓第二定律和速度公式求出速度增大到與傳送帶相等所用的時間，并求出此過程的位移，與傳送帶的長度比較，分析物體能否做勻速運(yùn)動．根據(jù)牛頓第二定律、第三定律結(jié)合求解物體對軌道的壓力．
（2）根據(jù)運(yùn)動學(xué)速度位移關(guān)系式求解出物體到達(dá)B點(diǎn)的速度，物體在圓形軌道上運(yùn)動時機(jī)械能守恒，列式可求出箱子上升的高度．

解答 解：（1）皮帶的速度 v₀=6m/s
箱子在傳送帶上勻加速運(yùn)動的加速度 a=$\frac{μmg}{m}$=μg=1m/s²
設(shè)箱子在B點(diǎn)的速度為 v_B，由：v_B²=2ax，解得：v_B=4m/s＜v₀，
所以箱子從A點(diǎn)到B點(diǎn)一直做勻加速運(yùn)動
由x=$\frac{1}{2}$at²，解得從A點(diǎn)到B點(diǎn)運(yùn)動的時間為：t=4s，
箱子在圓形軌道最低點(diǎn)時，由牛頓第二定律得：
F-mg=m$\frac{{v}_{B}^{2}}{R}$，解得：F=120N，
由牛頓第三定律知箱子對軌道的壓力大小為120N．
（2）設(shè)箱子速度達(dá)到v₀=6m/s時
位移為 x′，則v₀²-v_A²=2ax′，
解得：x′=5.5m＜8m，
因此箱子先勻加速運(yùn)動一段時間，速度達(dá)到6m/s后
開始做勻速運(yùn)動，即在B點(diǎn)的速度為 v₀
由機(jī)械能守恒定律得：$\frac{1}{2}$mv₀²=mg（R+h）
解得箱子在圓形軌道上上升的高度 h=1m
箱子從A點(diǎn)到最高點(diǎn)過程中速率v隨時間t變化的圖象如圖．
答：（1）箱子從A點(diǎn)到B點(diǎn)所用的時間及箱子滑到圓形軌道底端時對軌道的壓力大小為120N；
（2）箱子從A點(diǎn)到最高點(diǎn)過程中速率v隨時間t變化的圖象如圖所示．

點(diǎn)評 本題是一道力學(xué)綜合題，解決本題的關(guān)鍵要正確分析箱子的受力情況，判斷其運(yùn)動情況，要通過計算進(jìn)行分析，不能簡單的定性分析，同時要靈活選擇運(yùn)動學(xué)公式解答．