Question

8．圖（甲）是磁懸浮實(shí)驗(yàn)車原理示意圖，圖（乙）是固定在車底部金屬框abcd（車廂與金屬框絕緣）與軌道上運(yùn)動(dòng)磁場的示意圖．水平地面上有兩根很長的平行直導(dǎo)軌PQ和MN，導(dǎo)軌間有豎直（垂直紙面）方向等間距的勻強(qiáng)磁場B_l和B₂，二者方向相反．車底部金屬框的ad邊寬度與磁場間隔相等，當(dāng)勻強(qiáng)磁場B_l和B₂同時(shí)沿導(dǎo)軌方向向右運(yùn)動(dòng)時(shí)，金屬框因受到磁場力作用而帶動(dòng)實(shí)驗(yàn)車沿導(dǎo)軌運(yùn)動(dòng)．設(shè)金屬框垂直導(dǎo)軌的ab邊長L=0.20m、總電阻R=l.6Ω，實(shí)驗(yàn)車與線框的總質(zhì)量m=2.0kg，磁場B_l=B₂=1.0T，磁場勻速運(yùn)動(dòng)速度v₀=10m/s．已知懸浮狀態(tài)下，實(shí)驗(yàn)車運(yùn)動(dòng)時(shí)受到恒定的阻力f=0.20N，求：

（1）設(shè)t=0時(shí)刻，實(shí)驗(yàn)車的速度為零，求金屬框受到的磁場力的大��；
（2）求實(shí)驗(yàn)車的最大速率v_m；
（3）若某此實(shí)驗(yàn)使兩磁場由靜止開始向右做勻加速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)兩磁場運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t=30s時(shí)，實(shí)驗(yàn)車的速度為v=4m/s且與磁場具有共同的加速度，求由兩磁場開始運(yùn)動(dòng)到實(shí)驗(yàn)車開始運(yùn)動(dòng)所需要的時(shí)間t₀．

Answer 1

分析 （1）t=0時(shí)刻，實(shí)驗(yàn)車的速度為零，線框相對于磁場的速度大小為v₀，線框中左右兩邊都切割磁感線，產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢，由閉合電路的歐姆定律和法拉第電磁感應(yīng)定律，求出此時(shí)金屬框受到的磁場力的大小F₀，由左手定則判斷出其方向；
（2）實(shí)驗(yàn)車的最大速率為v_m時(shí)相對磁場的速率為v₀-v_m，此時(shí)線框所受的磁場力與阻力平衡，由平衡條件求解最大速率v_m；
（3）為實(shí)現(xiàn)列車最終沿水平方向做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，其加速度必須與兩磁場由靜止開始做勻加速直線運(yùn)動(dòng)的加速度相同，t₁時(shí)刻金屬線圈中的電動(dòng)勢E=2BL（at₁-v₁），根據(jù)所受的安培力，結(jié)合牛頓第二定律求出列車最終的加速度．從磁場運(yùn)動(dòng)到列車起動(dòng)需要時(shí)間為t₀．

解答 解：（1）t=0時(shí)刻，線框相對磁場的速度為v₀=10m/s，金屬框A中產(chǎn)生逆時(shí)針方向的感應(yīng)電流，設(shè)瞬時(shí)電動(dòng)勢大小為E₀
${E}_{0}=2\frac{△Φ}{△t}$=$\frac{2BL{v}_{0}△t}{△t}$=2BLv₀=4.0V，
設(shè)線框中的電流大小為I₀，根據(jù)閉合電路歐姆定律I₀=$\frac{{E}_{0}}{R}$=2.5V，
設(shè)金屬框A受到的磁場力的大小為F₀，根據(jù)安培力公式F₀=2 BI₀L=1.0N，方向向右；
（2）金屬框A達(dá)到最大速度v_m時(shí)相對磁場的速度為（v₀-v_m），設(shè)此時(shí)線圈中的感應(yīng)電動(dòng)勢為E₁，則   E₁=2 BL（v₀-v_m） …①
設(shè)此時(shí)金屬框中的電流為I₁，根據(jù)歐姆定律${I}_{1}=\frac{{E}_{1}}{R}$  ②
實(shí)驗(yàn)車達(dá)到最大速度時(shí)受力平衡，f₁=2 BI₁L   ③
①②③整理得：f1=$\frac{4{B}^{2}{L}^{2}（{v}_{0}-{v}_{m}）}{R}$，
代入數(shù)據(jù)解得：v_m=8.0 m/s；
（3）根據(jù)題意分析可得，為實(shí)現(xiàn)實(shí)驗(yàn)車最終沿水平方向做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，其加速度必須與兩磁場由靜止開始做勻加速直線運(yùn)動(dòng)的加速度相同
設(shè)加速度為a，則t時(shí)刻金屬線圈中的電動(dòng)勢：E=2BL（at-v）
金屬框中感應(yīng)電流I=$\frac{2BL（at-v）}{R}$
又因?yàn)榘才嗔?F=2BIL=$\frac{4{B}^{2}{L}^{2}（at-v）}{R}$，
所以對試驗(yàn)車，由牛頓第二定律得$\frac{4{B}^{2}{L}^{2}（at-v）}{R}$-f=ma
得 a=0.6m/s²  
設(shè)從磁場運(yùn)動(dòng)到實(shí)驗(yàn)車起動(dòng)需要時(shí)間為t₀，則t₀時(shí)刻金屬線圈中的電動(dòng)勢E₀=2BLat₀
金屬框中感應(yīng)電流I₀=$\frac{2BLa{t}_{0}}{R}$，
又因?yàn)榘才嗔?F₀=2BI₀L=$\frac{4{B}^{2}{L}^{2}a{t}_{0}}{R}$     
對實(shí)驗(yàn)車，由牛頓第二定律得F₀=f，
得：t₀=$\frac{10}{3}$s．
答：（1）金屬框受到的磁場力的大小為1.0N，方向向右；
（2）實(shí)驗(yàn)車的最大速率為8m/s；
（3）由兩磁場開始運(yùn)動(dòng)到實(shí)驗(yàn)車開始運(yùn)動(dòng)所需要的時(shí)間為$\frac{10}{3}$s．

點(diǎn)評 對于電磁感應(yīng)問題研究思路常常有兩條：一條從力的角度，重點(diǎn)是分析安培力作用下物體的平衡問題；另一條是能量，分析電磁感應(yīng)現(xiàn)象中的能量如何轉(zhuǎn)化是關(guān)鍵．