Question

19．如圖所示，兩根平行金屬導(dǎo)軌處在同一水平面內(nèi)，相距為l，導(dǎo)軌左端與阻值為R的電阻相連，今有一質(zhì)量為m，長(zhǎng)也為l的金屬棒，擱置在兩根金屬導(dǎo)軌上，與導(dǎo)軌垂直且接觸良好，整個(gè)裝置處于豎直的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，設(shè)磁場(chǎng)區(qū)域無(wú)限大，框架足夠長(zhǎng)，導(dǎo)軌和金屬棒的電阻不計(jì)，導(dǎo)軌與棒間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ，重力加速度為g．
（1）現(xiàn)金屬棒以初速度v₀向右滑行，金屬棒從開始運(yùn)動(dòng)到停止的整個(gè)過(guò)程中，通過(guò)電阻的電荷量為q，求金屬棒在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中回路產(chǎn)生的焦耳熱．
（2）若將電阻R換成電容為C的電容器，然后金屬棒在恒定外力F作用下，從靜止開始運(yùn)動(dòng)，求金屬棒的速度大小隨時(shí)間變化的關(guān)系．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)電荷量q與磁通量變化量的關(guān)系，求金屬棒通過(guò)的位移，再由能量守恒定律求焦耳熱．
（2）根據(jù)牛頓第二定律和加速度的瞬時(shí)表達(dá)式，分析出加速度不變，得到金屬棒做勻加速運(yùn)動(dòng)，再由速度時(shí)間公式求解．

解答 解：（1）設(shè)金屬棒從開始運(yùn)動(dòng)到停止的整個(gè)過(guò)程中，金屬棒通過(guò)的距離為x．
則通過(guò)電阻的電荷量為：q=$\overline{I}$t=$\frac{\overline{E}}{R}$t=$\frac{Bl\overline{v}t}{R}$=$\frac{Blx}{R}$
可得：x=$\frac{qR}{Bl}$
根據(jù)能量守恒定律，金屬棒在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中回路產(chǎn)生的焦耳熱為：
Q=$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$-μmgx=$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$-μmg•$\frac{qR}{Bl}$=$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$-$\frac{μmgqR}{Bl}$．
（2）設(shè)t時(shí)刻金屬棒的速度為v，加速度為a，經(jīng)過(guò)時(shí)間△t，速度變化量大小為△v，則有：a=$\frac{△v}{△t}$
根據(jù)牛頓第二定律得：
F-BIl-μmg=ma
又 I=$\frac{△Q}{△t}$=$\frac{△（CBlv）}{△t}$=$\frac{CBl△v}{△t}$=CBla
聯(lián)立得：F-CB²l²a-μmg=ma
可得金屬棒的加速度為：a=$\frac{F-μmg}{m+C{B}^{2}{l}^{2}}$
所以金屬棒做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，則金屬棒的速度大小隨時(shí)間變化的關(guān)系為：v=at=$\frac{F-μmg}{m+C{B}^{2}{l}^{2}}$t
答：
（1）金屬棒在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中回路產(chǎn)生的焦耳熱是$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$-$\frac{μmgqR}{Bl}$．
（2）金屬棒的速度大小隨時(shí)間變化的關(guān)系為v=$\frac{F-μmg}{m+C{B}^{2}{l}^{2}}$t．

點(diǎn)評(píng) 本題從力和能量?jī)蓚�(gè)角度分析電磁感應(yīng)現(xiàn)象，感應(yīng)電荷量 q=$\frac{△Φ}{R}$是常用的經(jīng)驗(yàn)公式，根據(jù)這個(gè)表達(dá)式可求金屬棒通過(guò)的距離．第2小題是一種微元法的思想，要學(xué)會(huì)應(yīng)用．