Question

5．如圖所示，用一塊長(zhǎng)L₁=2.5m的木板（木板下端有一上表面光滑底座，其高度與木板A、B相同）在墻和地面間架設(shè)斜面，斜面與水平地面的傾角θ可在0～60°間調(diào)節(jié)后固定．將質(zhì)量m₁=5kg的小物塊從斜面頂端靜止釋放，為避免小物塊與地面發(fā)生撞擊，在地面上緊靠軌道（的光滑底座）依次排放兩塊完全相同的木板A、B，長(zhǎng)度均為l=2m，質(zhì)量均為m₂=10kg（忽略小物塊在轉(zhuǎn)角處和底座運(yùn)動(dòng)的能量損失）．物塊與斜面間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.125，物塊與木板間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ₁=0.4，木板與地面間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ₂=0.1（最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力；重力加速度g=10m/s²）
（1）當(dāng)θ角增大到多少時(shí)，小物塊能從斜面開(kāi)始下滑？（用正切值表示）
（2）當(dāng)θ增大到37°時(shí)，求小物塊到達(dá)木板A末端的速度多大？
（3）在（2）問(wèn)的情況下，通過(guò)計(jì)算判斷貨物是否會(huì)從木板B的右端滑落？若能，求貨物滑離木板B右端時(shí)的速度；若不能，求貨物最終停在B板上的位置？（已知sin37°=0.6，cos37°=0.8）

Answer 1

分析 （1）由受力平衡求解；
（2）對(duì)物塊在斜面上運(yùn)動(dòng)應(yīng)用動(dòng)能定理求得滑上A的速度，然后進(jìn)行受力分析得到物塊和A的運(yùn)動(dòng)，再由動(dòng)能定理求得小物塊到達(dá)木板A末端的速度；
（3）分析物塊滑上B后物塊和B的運(yùn)動(dòng)，根據(jù)勻變速運(yùn)動(dòng)規(guī)律求得最大相對(duì)位移，即可得到物塊的最終狀態(tài)．

解答 解：（1）當(dāng)小物塊的摩擦力為最大靜摩擦力，小物塊在斜面上受力平衡時(shí)能從斜面開(kāi)始下滑，故有：m₁gsinθ=μm₁gcosθ，所以，$tanθ=\frac{1}{8}$即$θ=arctan\frac{1}{8}$；
（2）對(duì)小物塊在斜面上的運(yùn)動(dòng)應(yīng)用動(dòng)能定理可得：${m}_{1}g{L}_{1}sin37°-μ{m}_{1}g{L}_{1}cos37°=\frac{1}{2}{m}_{1}{v}^{2}$，所以，物塊滑上A的速度$v=\sqrt{2g{L}_{1}（sin37°-μcos37°）}=5m/s$；
物塊在A上滑動(dòng)，AB作為一個(gè)整體，一起向右運(yùn)動(dòng)，當(dāng)AB的速度小于物塊速度時(shí)，物塊做加速度$a=\frac{{μ}_{1}{m}_{1}g}{{m}_{1}}={μ}_{1}g=4m/{s}^{2}$的勻減速運(yùn)動(dòng)；
因?yàn)棣?SUB>2（m₁+2m₂）g＞μ₁m₁g，所以，AB保持靜止；
那么對(duì)物塊在A上運(yùn)動(dòng)應(yīng)用動(dòng)能定理可得：$-{μ}_{1}{m}_{1}gl=\frac{1}{2}{m}_{1}{{v}_{1}}^{2}-\frac{1}{2}{m}_{1}{v}^{2}$，所以，小物塊到達(dá)木板A末端的速度${v}_{1}=\sqrt{{v}^{2}-2{μ}_{1}gl}=3m/s$；
（3）當(dāng)B的速度小于物塊速度時(shí)，物塊在B上做加速度$a=\frac{{μ}_{1}{m}_{1}g}{{m}_{1}}={μ}_{1}g=4m/{s}^{2}$的勻減速運(yùn)動(dòng)，B做加速度$a′=\frac{{μ}_{1}{m}_{1}g-{μ}_{2}（{m}_{1}+{m}_{2}）g}{{m}_{2}}=0.5m/{s}^{2}$的加速運(yùn)動(dòng)；
設(shè)經(jīng)過(guò)時(shí)間t后達(dá)到共同速度，那么有v₁-at=a′t，所以，$t=\frac{2}{3}s$；
那么兩者的相對(duì)位移$s={v}_{1}t-\frac{1}{2}a{t}^{2}-\frac{1}{2}a′{t}^{2}=1m＜l$；
達(dá)到共同速度后，物塊和B保持相對(duì)靜止，故貨物不會(huì)從木板B的右端滑落，且貨物最終停在B板上的中點(diǎn)；
答：（1）當(dāng)θ角增大到$arctan\frac{1}{8}$時(shí)，小物塊能從斜面開(kāi)始下滑；
（2）當(dāng)θ增大到37°時(shí)，小物塊到達(dá)木板A末端的速度為3m/s；
（3）在（2）問(wèn)的情況下，貨物不會(huì)從木板B的右端滑落；貨物最終停在B板上的中點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng) 經(jīng)典力學(xué)問(wèn)題一般先對(duì)物體進(jìn)行受力分析，求得合外力及運(yùn)動(dòng)過(guò)程做功情況，然后根據(jù)牛頓定律、動(dòng)能定理及幾何關(guān)系求解．