Question

7．有兩顆人造地球衛(wèi)星，都繞地球作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，已知它們的軌道半徑之比為r₁：r₂=4：1，求這兩顆衛(wèi)星的：（1）線速度之比  
（2）角速度之比  
（3）向心加速度之比  
（4）運(yùn)動(dòng)周期之比．

Answer 1

分析 根據(jù)人造衛(wèi)星的萬(wàn)有引力等于向心力，列式求出線速度、角速度、向心加速度和向心力的表達(dá)式進(jìn)行討論即可．

解答 解：人造衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力，設(shè)衛(wèi)星的質(zhì)量為m、軌道半徑為r、地球質(zhì)量為M，有F=F_向，
$\frac{GMm}{{r}^{2}}$=m$\frac{{v}^{2}}{r}$=ma=mω²r=m$\frac{{4π}^{2}}{{T}^{2}}$r
（1）v=$\sqrt{\frac{GM}{r}}$，已知它們的軌道半徑之比為r₁：r₂=4：1，所以它們的線速度之比v₁：v₂=1：2．
（2）ω=$\sqrt{\frac{GM}{{r}^{3}}}$，已知它們的軌道半徑之比為r₁：r₂=4：1，所以角速度之比ω₁：ω₂=1：8，
（3）a=$\frac{GM}{{r}^{2}}$，已知它們的軌道半徑之比為r₁：r₂=4：1，所以向心加速度之比a₁：a₂=1：16，
（4）T=2π$\sqrt{\frac{{r}^{3}}{GM}}$，已知它們的軌道半徑之比為r₁：r₂=4：1，所以T₁：T₂=8：1，
答：（1）線速度之比v₁：v₂=1：2．  
（2）角速度之比ω₁：ω₂=1：8，
（3）向心加速度之比a₁：a₂=1：16，
（4）運(yùn)動(dòng)周期之比T₁：T₂=8：1．

點(diǎn)評(píng) 本題關(guān)鍵抓住萬(wàn)有引力提供向心力，列式求解出線速度、角速度、向心加速度和向心力的表達(dá)式，再進(jìn)行討論．