Question

13．粒子擴(kuò)束裝置由粒子加速器，偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)和偏轉(zhuǎn)磁場(chǎng)組成，如圖，一個(gè)質(zhì)量為m=2.0×10^-11kg，電荷量q=1.0×10^-5C的帶正電微粒（重力忽略不計(jì)）從靜止進(jìn)入加速電場(chǎng)，電壓U₁=100V，加速后水平進(jìn)入兩平行金屬板間的偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)中，金屬板長(zhǎng)L=20cm，兩板間距d=10$\sqrt{3}$cm，微粒射出電場(chǎng)時(shí)速度偏轉(zhuǎn)角θ=30°，接著進(jìn)入一個(gè)方向垂直與紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，求：
（1）求微粒進(jìn)入偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)時(shí)的速度v₀和兩板間電壓U₂
（2）若該勻強(qiáng)磁場(chǎng)的寬度為D=10$\sqrt{3}$cm，為使微粒不會(huì)由磁場(chǎng)右邊射出，該勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B₁應(yīng)滿(mǎn)足條件？
（3）若粒子射入磁場(chǎng)時(shí)，偏轉(zhuǎn)電壓U₂大小不變極性改變，要使粒子回到出發(fā)點(diǎn)O，求對(duì)應(yīng)磁感應(yīng)強(qiáng)度B₂大�。�

Answer 1

分析 （1）根據(jù)動(dòng)能定理求微粒進(jìn)入偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)時(shí)的速度v₀．微粒進(jìn)入偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)中做類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)水平分位移和初速度求出時(shí)間，由牛頓第二定律和tanθ與電壓的關(guān)系，求解兩板間電壓U₂．
（2）作出圓周運(yùn)動(dòng)不出磁場(chǎng)的臨界軌跡，即與磁場(chǎng)右邊界相切的軌跡，根據(jù)幾何關(guān)系求出此時(shí)半徑大小，再根據(jù)洛倫茲力提供向心力求解即可．
（3）要使粒子回到出發(fā)點(diǎn)O，微粒在偏轉(zhuǎn)磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)軌跡必須關(guān)于偏轉(zhuǎn)極板的軸線對(duì)稱(chēng)，畫(huà)出軌跡，求出軌跡半徑，從而求得B₂．

解答 解：（1）微粒在加速電場(chǎng)中，由動(dòng)能定理得：
qU₁=$\frac{1}{2}$m${v}_{0}^{2}$…①
解得：v₀=$\sqrt{\frac{2q{U}_{1}}{m}}$=$\sqrt{\frac{2×1{0}^{-5}×100}{2×1{0}^{-11}}}$=1.0×10⁴m/s    
微粒在偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)中做類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)，有：a=$\frac{q{U}_{2}}{md}$
離開(kāi)偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)時(shí)豎直分速度為：v_y=at
運(yùn)動(dòng)時(shí)間為：t=$\frac{L}{{v}_{0}}$
飛出電場(chǎng)時(shí)，速度偏轉(zhuǎn)角的正切為：tanθ=$\frac{{v}_{y}}{{v}_{0}}$=$\frac{{U}_{2}L}{2{U}_{1}d}$
可得：U₂=$\frac{2{U}_{1}dtanθ}{L}$=$\frac{2×100×10\sqrt{3}×1{0}^{-2}tan30°}{0.2}$=100V 
（2）進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)微粒的速度是：v=$\frac{{v}_{0}}{cosθ}$ 
軌跡如圖，由幾何關(guān)系有：D=r+rsinθ

由洛倫茲力提供向心力得：B₁qv=m$\frac{{v}^{2}}{r}$
聯(lián)立得：B₁=$\frac{m{v}_{0}（1+sinθ）}{qDcosθ}$
代入數(shù)據(jù)解得：B₁=0.2T
為使微粒不會(huì)由磁場(chǎng)右邊射出，該勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B₁應(yīng)滿(mǎn)足條件是：B₁＞0.2T．
（3）微粒在偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)中偏轉(zhuǎn)的距離為：y=$\frac{1}{2}a{t}^{2}$=$\frac{{U}_{2}{L}^{2}}{4{U}_{1}d}$=$\frac{100×0．{2}^{2}}{4×100×0.1\sqrt{3}}$m=$\frac{\sqrt{3}}{30}$m

要使粒子回到出發(fā)點(diǎn)O，微粒在偏轉(zhuǎn)磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)軌跡必須關(guān)于偏轉(zhuǎn)極板的軸線對(duì)稱(chēng)，畫(huà)出軌跡，設(shè)軌跡半徑為R，則有：
R=$\frac{y}{cosθ}$=$\frac{1}{15}$m
由R=$\frac{mv}{q{B}_{2}}$得：B₂=0.2$\sqrt{3}$≈0.346T
答：（1）微粒進(jìn)入偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)時(shí)的速度v₀為1.0×10⁴m/s，兩板間電壓U₂為100V．
（2）若該勻強(qiáng)磁場(chǎng)的寬度為D=10$\sqrt{3}$cm，為使微粒不會(huì)由磁場(chǎng)右邊射出，該勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B₁應(yīng)滿(mǎn)足條件是B₁＞0.2T．
（3）若粒子射入磁場(chǎng)時(shí)，偏轉(zhuǎn)電壓U₂大小不變極性改變，要使粒子回到出發(fā)點(diǎn)O，對(duì)應(yīng)磁感應(yīng)強(qiáng)度B₂大小是0.346T．

點(diǎn)評(píng) 本題是帶電粒子在組合場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的問(wèn)題，關(guān)鍵是分析粒子的受力情況和運(yùn)動(dòng)情況，用力學(xué)的方法處理，要準(zhǔn)確畫(huà)出臨界軌跡，由幾何關(guān)系求軌跡半徑．