Question

4．如圖所示，固定的光滑金屬導(dǎo)軌水平放置，軌道間距為l．整個空間存在磁感應(yīng)強(qiáng)度為B、方向豎直向上的勻強(qiáng)磁場．質(zhì)量分別為m和2m的金屬桿a、b垂直于導(dǎo)軌放置，兩桿的電阻均為R，軌道電阻不計．現(xiàn)給b桿一水平向右的速度v₀，設(shè)軌道足夠長，磁場區(qū)域足夠大，兩桿始終沒有相碰．求：
（1）a桿最終的速度大小；
（2）整個過程a桿產(chǎn)生的焦耳熱；
（3）當(dāng)a桿速度為$\frac{{v}_{0}}{2}$時的加速度大小•

Answer 1

分析 （1）本題中兩根導(dǎo)體棒的運(yùn)動情況是：b桿向a桿運(yùn)動時，產(chǎn)生感應(yīng)電流．b棒受到向左安培力而做減速運(yùn)動，a棒受到向右的安培力而作加速運(yùn)動．在b棒的速度大于a棒的速度時，回路總有感應(yīng)電流，b棒繼續(xù)減速，a棒繼續(xù)加速，兩棒速度達(dá)到相同后，回路面積保持不變，磁通量不變化，不產(chǎn)生感應(yīng)電流，兩棒以相同的速度v作勻速運(yùn)動，對于兩棒組成的系統(tǒng)遵守動量守恒，由動量守恒定律求解．
（2）根據(jù)能量守恒定律求產(chǎn)生的總焦耳熱，再求解a桿產(chǎn)生的焦耳熱．
（3）先由動量守恒定律求出此時b桿的速度，得到回路總的感應(yīng)電動勢，求出感應(yīng)電流，再由牛頓第二定律求解a桿的加速度大小．

解答 解：（1）最終兩桿以相同的速度做勻速運(yùn)動，設(shè)為v．
取向右為正方向，根據(jù)系統(tǒng)的動量守恒定律得：
  2mv₀=（m+2m）v
解得 v=$\frac{2}{3}{v}_{0}$
（2）由能量守恒得：
a、b兩桿產(chǎn)生的焦耳熱為 Q=$\frac{1}{2}×2m{v}_{0}^{2}$-$\frac{1}{2}（m+2m）{v}^{2}$=$\frac{1}{3}m{v}_{0}^{2}$
因a、b兩桿的電阻相等，所以a桿產(chǎn)生的焦耳熱為 Q_a=$\frac{1}{2}Q$=$\frac{1}{6}m{v}_{0}^{2}$
（3）由動量守恒定律得：
  2mv₀=m$•\frac{{v}_{0}}{2}$+2mv₁，得v₁=$\frac{3}{4}{v}_{0}$
回路中感應(yīng)電流 I=$\frac{BL{v}_{1}-BL\frac{{v}_{0}}{2}}{2R}$=$\frac{BL{v}_{0}}{8R}$
則a桿的加速度大小 a=$\frac{BIL}{m}$=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{0}}{8mR}$
答：
（1）a桿最終的速度大小為$\frac{2}{3}{v}_{0}$；
（2）整個過程a桿產(chǎn)生的焦耳熱是$\frac{1}{6}m{v}_{0}^{2}$；
（3）當(dāng)a桿速度為$\frac{{v}_{0}}{2}$時的加速度大小是$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{0}}{8mR}$．

點評 本題是雙桿類型，要能根據(jù)牛頓運(yùn)動定律正確分析出兩桿的運(yùn)動過程，明確兩桿組成的系統(tǒng)合外力為零，遵守動量守恒，能量也守恒，由力學(xué)規(guī)律解答．