Question

10．在不受外力或合外力為零的彈性碰撞中，碰撞前后系統(tǒng)同時(shí)遵從能量守恒和動(dòng)量守恒．上述理論不僅在宏觀世界中成立，在微觀世界中也成立．康普頓根據(jù)光子與電子的彈性碰撞模型，建立的康普頓散射理論和實(shí)驗(yàn)完全相符．這不僅證明了光具有粒子性，而且還證明了光子與固體中電子的相互作用過(guò)程嚴(yán)格地遵守能量守恒定律和動(dòng)量守恒定律．
（1）根據(jù)玻爾的氫原子能級(jí)理論，${{E}_{n}=\frac{1}{{n}^{2}}E}_{1}$（其中E₁為氫原子的基態(tài)能量，E_n為電子在第n條軌道運(yùn)行時(shí)氫原子的能量），若某個(gè)處于量子數(shù)為n的激發(fā)態(tài)的氫原子躍遷到基態(tài)，求發(fā)出光子的頻率．
（2）康普頓在研究X射線(xiàn)與物質(zhì)散射實(shí)驗(yàn)時(shí)，他假設(shè)X射線(xiàn)中的單個(gè)光子與輕元素中的電子發(fā)生彈性碰撞，而且光子和電子、質(zhì)子這樣的實(shí)物粒子一樣，既具有能量，又具有動(dòng)量（光子的能量hν，光子的動(dòng)量$\frac{h}{λ}$）．現(xiàn)設(shè)一光子與一靜止的電子發(fā)生了彈性斜碰，如圖所示，碰撞前后系統(tǒng)能量守恒，在互相垂直的兩個(gè)方向上，作用前后的動(dòng)量也守恒．
a．若入射光子的波長(zhǎng)為λ₀，與靜止電子發(fā)生斜碰后，光子的偏轉(zhuǎn)角為α=37°，電子沿與光子的入射方向成β=45°飛出．求碰撞后光子的波長(zhǎng)λ和電子的動(dòng)量P．（sin37°=0.6，cos37°=0.8）．
b．試從理論上定性說(shuō)明，光子與固體靶中的電子（電子的動(dòng)能很小，可認(rèn)為靜止）發(fā)生碰撞，波長(zhǎng)變長(zhǎng)的原因．

Answer 1

分析 （1）通過(guò)量子數(shù)n的能級(jí)值${E}_{n}=\frac{{E}_{1}}{{n}^{2}}$，結(jié)合hγ=E_n-E₁即可求出；
（2）a．光子與靜止電子碰撞后，動(dòng)量守恒，能量守恒，通過(guò)能量守恒判斷光子頻率的變化，從而得出波長(zhǎng)的變化，通過(guò)動(dòng)量守恒得出碰后光子的波長(zhǎng)λ和電子的動(dòng)量．
b．由能量守恒，結(jié)合光子的能量：$E=hγ=\frac{hc}{λ}$即可求出．

解答 解：（1）量子數(shù)為n時(shí)，能級(jí)時(shí)的能量為E_n=$\frac{1}{{n}^{2}}$E₁
由：hγ=E_n-E₁
處于量子數(shù)為n的激發(fā)態(tài)的氫原子躍遷到基態(tài)，發(fā)出光子的頻率：γ=$\frac{（1-{n}^{2}）{E}_{1}}{h{n}^{2}}$
（2）a．如圖建立xoy坐標(biāo)系，

光子與電子碰撞前后，沿x方向的分動(dòng)量守恒：$\frac{h}{{λ}_{0}}=\frac{h}{λ}cosα+P•cosβ$
光子與電子碰撞后，沿y方向的分動(dòng)量守恒：$0-\frac{h}{λ}sinα+Psinβ$
代入數(shù)據(jù)解得：λ=1.4λ₀
所以：P=$\frac{3\sqrt{2}}{7}•\frac{h}{{λ}_{0}}≈0.606\frac{h}{{λ}_{0}}$
b．光子與靜止的電子發(fā)生碰撞后，光子把一部分的能量傳遞給電子，即碰撞后光子的能量減小，而光子的能量：
$E=hγ=\frac{hc}{λ}$，光子在真空中傳播的過(guò)程中普朗克常數(shù)h與光速c都是定值，所以光子的能量減小，則光子的波長(zhǎng)增大．
答：（1）光子的頻率為$\frac{（1-{n}^{2}）{E}_{1}}{h{n}^{2}}$；
（2）a、碰撞后光子的波長(zhǎng)λ是1.4λ₀，電子的動(dòng)量是$0.606\frac{h}{{λ}_{0}}$．
b．光子與固體靶中的電子發(fā)生碰撞，子把一部分的能量傳遞給電子，即碰撞后光子的能量減小，所以波長(zhǎng)變長(zhǎng)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查對(duì)玻爾理論的理解和應(yīng)用能力，關(guān)鍵抓住光子能量與能級(jí)之間的關(guān)系：${E}_{n}=\frac{{E}_{1}}{{n}^{2}}$，解決本題的關(guān)鍵知道輻射或吸收光子的能量等于兩能級(jí)間的能級(jí)差，即E_m-E_n=hv．