Question

11．如圖所示，傾角30°的光滑斜面上，輕質彈簧兩端連接著兩個質量均為m=1kg的物塊B和C，C緊靠著擋板P，B通過輕質細繩跨過光滑定滑輪與質量M=8kg的物塊A連接，細繩平行于斜面，A在外力作用下靜止在圓心角為60°、半徑R=2m的$\frac{1}{6}$的光滑圓弧軌道的頂端a處，此時繩子恰好拉直且無張力；圓弧軌道最低端b與粗糙水平軌道bc相切，bc與一個半徑r=0.2m的光滑圓軌道平滑連接．由靜止釋放A，當A滑至b時，C恰好離開擋板P，此時繩子斷裂．已知A與bc間的動摩擦因數μ=0.1，重力加速度取g=10m/s²，彈簧的形變始終在彈性限度內，細繩不可伸長．
（1）求彈簧的勁度系數；
（2）求物塊A滑至b處，繩子斷后瞬間，A對圓軌道的壓力大��；
（3）為了讓物塊A能進入圓軌道且不脫軌，則bc間的距離應滿足什么條件？

Answer 1

分析 （1）根據A在a處和b處，ABC的受力和位置關系求得兩次彈簧形變量的關系和彈簧彈力，進而由胡克定律求得勁度系數；
（2）根據能量守恒求得A在b處的速度，然后應用牛頓第二定律求得A受到的支持力，即可由牛頓第三定律求得壓力；
（3）根據物塊A能進入圓軌道且不脫軌得到A可能到達的位置及速度，然后由機械能守恒得到A在c處的動能，即可根據動能定理求得bc距離．

解答 解：（1）A在a處時，繩子拉直無張力，彈簧壓縮，設壓縮量為x₁，彈簧彈力為${F}_{1}=k{x}_{1}=mgsin30°=\frac{1}{2}mg$；
A在b處時，彈簧伸長，設伸長量為x₂，那么，x₁+x₂=R=2m；又有當A滑至b時，C恰好離開擋板P，所以，彈簧彈力F₂=kx₂=mgsin30°=$\frac{1}{2}mg$；
所以，F₁+F₂=k（x₁+x₂）=2k（N），所以，$k=\frac{1}{2}mg（N/m）=5N/m$；
（2）A從a到b過程由，ABC及彈簧系統(tǒng)只有重力、彈簧彈力做功，且A在a處和b處，彈簧的形變量相同，故彈性勢能不變，彈簧彈力做功為零；那么，ABC及彈簧系統(tǒng)機械能守恒；
設A在b處的速度為v_b，那么，B的速度為A的速度在沿繩子方向的分速度，故B的速度${v}_{B}={v}_cos30°=\frac{\sqrt{3}}{2}{v}_$，則由動能定理可得：$Mg（R-Rcos60°）-mg（{x}_{1}+{x}_{2}）sin30°=\frac{1}{2}M{{v}_}^{2}$$+\frac{1}{2}m{{v}_{B}}^{2}$；
所以，v_b=4m/s；
對物塊A滑至b處，繩子斷后瞬間應用牛頓第二定律，則有${F}_{N}-Mg=\frac{M{{v}_}^{2}}{R}$，所以，${F}_{N}=Mg+\frac{M{{v}_}^{2}}{R}=144N$；
故由牛頓第三定律可知：物塊A滑至b處，繩子斷后瞬間，A對圓軌道的壓力大小為144N；
（3）為了讓物塊A能進入圓軌道且不脫軌，那么，物塊A在圓軌道上可能達到的最高點h≤r或者h=2r；
那么，當h=2r時，對物體A在最高點應用牛頓第二定律有$\frac{Mv{′}^{2}}{r}≥Mg$；
A在圓軌道上運動，機械能守恒，所以，A在c處的動能${E}_{kc1}=\frac{1}{2}Mv{′}^{2}+2Mgr≥\frac{5}{2}Mgr=40J$；
當h≤r時，由機械能守恒可得A在c處的動能E_kc2=Mgh，所以，A在c處的動能為E_kc1≥40J或0≤E_kc2≤16J；
又有A在b處的動能${E}_{kb}=\frac{1}{2}M{{v}_}^{2}=64J$；
A從b到c運動過程，只有摩擦力做功，且摩擦力f=μMg=8N；故由動能定理可得：-fL_bc=E_kc-E_kb；
所以，0≤L_ab≤3m或6m≤L_bc≤8m；
答：（1）彈簧的勁度系數為5N/m；
（2）物塊A滑至b處，繩子斷后瞬間，A對圓軌道的壓力大小為144N；
（3）為了讓物塊A能進入圓軌道且不脫軌，則bc間的距離為0≤L_ab≤3m或6m≤L_bc≤8m．

點評 經典力學問題一般先對物體進行受力分析，求得合外力及運動過程做功情況，然后根據牛頓定律、動能定理及幾何關系求解．