Question

5．開普勒從1909～1919年發(fā)表了著名的開普勒行星三定律：
其中第三定律：所有行星的橢圓軌道的半長軸的三次方跟公轉(zhuǎn)周期的平方的比值都相等．實踐證明，開普勒三定律也適用于人造地球衛(wèi)星的運(yùn)動．
如果人造地球衛(wèi)星沿半徑為r的圓形軌道繞地球運(yùn)動，當(dāng)開動制動發(fā)動機(jī)后，衛(wèi)星速度降低并轉(zhuǎn)移到與地球相切的橢圓軌道，如圖所示，結(jié)合以上信息，問在這之后，衛(wèi)星經(jīng)過多長時間著陸？（空氣阻力不計．地球半徑為R，地球表面重力加速度為g，圓形軌道可作為橢圓軌道的一種特殊形式．）

Answer 1

分析 根據(jù)牛頓第二定律與向心力表達(dá)式，結(jié)合引力提供向心力，并由地表時，引力等于重力，及開普勒第三定律，即可求解．

解答 解：當(dāng)衛(wèi)星在圓軌道上運(yùn)動時，由牛頓第二定律有：$G\frac{Mm}{r^2}=mr{（\frac{2π}{T}）^2}$（r為軌道半徑）
在地面時，有：$mg=G\frac{Mm}{R^2}$（R為地球半徑）
衛(wèi)星由圓軌道轉(zhuǎn)移到橢圓軌道，設(shè)周期為T'，由開普勒第三定律，有：$\frac{r^3}{T^2}=\frac{{{{[\frac{（R+r）}{2}]}^3}}}{{{{T'}^2}}}$
衛(wèi)星落地時間$t=\frac{T'}{2}$
聯(lián)解以上各式，得：$t={\frac{{π[{\frac{{（{r+R}）}}{2}}]}}{{{{（{g{R^2}}）}^{\frac{1}{2}}}}}^{\frac{3}{2}}}$
答：在這之后，衛(wèi)星經(jīng)過$\frac{π（\frac{r+R}{2}）^{\frac{3}{2}}}{（g{R}^{2}）^{\frac{1}{2}}}$時間著陸．

點評 考查萬有引為定律與開普勒第三定律的應(yīng)用，掌握牛頓第二定律的內(nèi)容，理解引力提供向心力與引力等于重力的兩種情況．