Question

3．已知某星球的半徑為R，且不考慮該星球的自轉(zhuǎn)，萬(wàn)有引力常數(shù)G已知．求：
（1）若在該星球表面高h(yuǎn)（h＜＜R）處自由釋放一個(gè)小球（可視質(zhì)點(diǎn)）小球經(jīng)過(guò)t時(shí)間落地，則該星球的密度為多少？
（2）若某一衛(wèi)星在離該星球表面H高度繞該星球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)且運(yùn)動(dòng)的周期為T，則該星球的密度為多少？

Answer 1

分析 （1）物體在星球表面做自由落體運(yùn)動(dòng)，其加速度即為星球表面的重力加速度，根據(jù)自由落體規(guī)律求得星球表面的重力加速度，再依據(jù)星球的質(zhì)量與體積，即可求解星球的密度；
（2）由萬(wàn)有引力提供向心力，求星球的質(zhì)量，再求其密度．

解答 解：（1）物體在星球表面做自由落體運(yùn)動(dòng)，設(shè)星球表面的重力加速度為g，由自由落體運(yùn)動(dòng)規(guī)律，有：
h=$\frac{1}{2}$gt²…①
解得：g=$\frac{2h}{{t}^{2}}$ …②
依據(jù)重力等于引力，則有：mg=G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$
根據(jù)密度公式：ρ=$\frac{M}{V}$=$\frac{\frac{g{R}^{2}}{G}}{\frac{4}{3}π{R}^{3}}$=$\frac{3g}{4πGR}$
（2）某一衛(wèi)星在離該星球表面H高度繞該星球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)且運(yùn)動(dòng)的周期為T，
根據(jù)引力提供向心力，則有：$\frac{GMm}{（R+H）^{2}}$=m$\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$（R+H）…③
星球的平均密度 ρ=$\frac{M}{\frac{4}{3}π{R}^{3}}$ …④
聯(lián)立解得：ρ=$\frac{3π（R+H）^{3}}{G{T}^{2}{R}^{3}}$
答：（1）則該星球的密度為$\frac{3g}{4πGR}$；
（2）則該星球的密度為$\frac{3π（R+H）^{3}}{G{T}^{2}{R}^{3}}$．

點(diǎn)評(píng) 掌握由自由落體求重加速度的方法，能根據(jù)向心力等于萬(wàn)有引力，求中心天體的質(zhì)量是常用的方法，同時(shí)還可以由重力等于引力，求解中心天體的質(zhì)量，是卡文迪許“稱量地球質(zhì)量”的原理．