Question

18．如圖所示，半徑為R、上表面水平的半球形（O為球心）玻璃磚懸空水平放置，其下方水平放置著面積足夠大的光屏，直徑MN與光屏間距為d=2$\sqrt{2}$R．一束單色光垂直于玻璃磚上表面射入，恰好布滿玻璃磚的上表面，其中部分光經(jīng)玻璃磚折射后能夠照到光屏上．已知玻璃磚對該光的折射率n=$\sqrt{2}$，求光屏上被光照亮的面積．（不計光在玻璃磚內(nèi)的反復(fù)反射）

Answer 1

分析 作出半圓柱體的橫截面．光線在透光的邊界恰好發(fā)生全反射，入射角等于臨界角，即可由折射定律求出光線在柱面上的入射角，由幾何知識求面積S．

解答 解：根據(jù)題設(shè)做出光路圖如圖所示

設(shè)光在玻璃中的臨界角為α，則sinα=$\frac{1}{n}$，
α=45°
對應(yīng)的臨界光線AQ的折射角為β=90°
由幾何關(guān)系可知三角形APO為等腰直角三角形
PA=PO=Rsinα=Rsin45°=$\frac{\sqrt{2}}{2}R$，
又幾何關(guān)系 AQ=$\frac{d-PA}{cos（β-α）}=3R$
光屏上被光束照亮的部分是圓形，其半徑：
r=AQsin（β-α）-$\frac{\sqrt{2}}{2}R$=$\sqrt{2}R$，
圓形面積為：S=πr²=2πR²
答：光屏上被該光照亮的面積為2πR²．

點評 本題考查了幾何光學(xué)的基本運(yùn)用，關(guān)鍵抓住光線在界面上發(fā)生全反射，結(jié)合折射定律和幾何關(guān)系綜合求解，難度不大．