Question

11．某工廠為實現(xiàn)自動傳送工件設(shè)計了如圖所示的傳送裝置，由一個水平傳送帶AB和傾斜傳送帶CD組成，水平傳送帶長度L_AB=4m，傾斜傳送帶長度L_CD=4.45m，傾角為θ=37°，AB和CD通過一段極短的光滑圓弧板過渡，AB傳送帶以v₁=5m/s的恒定速率順時針運轉(zhuǎn)，CD傳送帶靜止．已知工件與傳送帶間的動摩擦因數(shù)均為μ=0.5，重力加速度g=10m/s²．現(xiàn)將一個工件（可看作質(zhì)點）無初速度地放在水平傳送帶最左端A點處，求：
（1）工件被第一次傳送到CD傳送帶上升最大高度和所用的時間；
（2）要使工件恰好被傳送到CD傳送帶最上端，CD傳送帶沿順時針方向運轉(zhuǎn)的速度v₂大小（v₂＜v₁）．

Answer 1

分析 （1）工件剛放在傳送帶AB上，在滑動摩擦力作用下做勻加速運動，根據(jù)牛頓第二定律求得加速度，由速度公式求出勻加速運動的時間，并求得位移．工件與傳送帶共速后做勻速運動，由位移時間公式求得勻速運動的時間，即可求得總時間．工件滑上CD傳送帶后在重力和滑動摩擦力作用下做勻減速運動，根據(jù)牛頓第二定律和運動學速度位移公式求最大高度．
（2）CD傳送帶以速度v₂大小向上傳送時，當工件的速度大于v₂時，滑動摩擦力沿傳送帶向下加速度大小仍為a₂；當工件的速度小于v₂時，滑動摩擦力沿傳送帶向上，設(shè)其加速度大小為a₃，分別根據(jù)牛頓第二定律和運動學速度位移公式結(jié)合解答．

解答 解：（1）工件剛放在傳送帶AB上，在摩擦力作用下做勻加速運動，設(shè)其加速度大小為a₁，速度增加到v₁時所用時間為t₁，位移大小為s₁，則由受力分析圖甲以及牛頓運動定律可得：
N₁=mg
f₁=μN₁=ma₁
聯(lián)立解得：a₁=5m/s²．
由運動學公式有：t₁=$\frac{{v}_{1}}{{a}_{1}}$=$\frac{5}{5}$s=1s
s₁=$\frac{1}{2}{a}_{1}{t}_{1}^{2}$=$\frac{1}{2}×5×{1}^{2}$=2.5m
由于s₁＜L_AB，隨后在傳送帶AB上做勻速直線運動到B端，則勻速運動的時間t₂為：
${t_2}=\frac{{{L_{AB}}-{s_1}}}{v_1}=0.3s$
工件滑上CD傳送帶后在重力和滑動摩擦力作用下做勻減速運動，設(shè)其加速度大小為a₂，速度減小到零時所用時間為t₃，位移大小為s₂，則由受力分析圖乙
以及牛頓運動定律可得：N₂=mgcosθ
mgsinθ+μN₂=ma₂
由運動學公式有：s₂=$\frac{0-{v}_{1}^{2}}{-2{a}_{2}}$
聯(lián)立解得：a₂=10m/s²．s₂=1.25m
工作沿CD傳送帶上升最大高度為：h=s₂sinθ=1.25×0.6m=0.75m
沿CD上升的時間為：t₃=$\frac{0-{v}_{1}}{-{a}_{2}}$=$\frac{5}{10}$=0.5s
故總時間為：t=t₁+t₂+t₃=1.8s
（2）CD傳送帶以速度v₂大小向上傳送時，當工件的速度大于v₂時，滑動摩擦力沿傳送帶向下加速度大小仍為a₂；當工件的速度小于v₂時，滑動摩擦力沿傳送帶向上，設(shè)其加速度大小為a₃，兩個過程的位移大小分別為s₃和s₄，則由受力分析圖丙
由運動學公式和牛頓運動定律可得：$-2{a_2}{s_3}={v_2}^2-{v_1}^2$
mgsinθ-μN₂=ma₃
$-2{a_3}{s_4}=0-{v_2}^2$
L_CD=s₃+s₄
解得：v₂=4m/s
答：（1）工件被第一次傳送到CD傳送帶上升最大高度是0.75m，所用的時間是1.8s；
（2）要使工件恰好被傳送到CD傳送帶最上端，CD傳送帶沿順時針方向運轉(zhuǎn)的速度v₂大小是4m/s．

點評 本題的關(guān)鍵要理清工件的運動情況，通過分析題意找出臨條界件，注意滑塊在CD段所可能做的運動情況，從而分析得出題目中的臨界值為到達D點時速度恰好為零．